1) Отметить на числовой окружности точки, которые соответствуют числу: a)$$\frac{\pi}{2}$$; 2) $$\frac{\pi}{6}$$; x) $$-\frac{\pi}{4}$$ б) 8$$\pi$$; g) $$\frac{3}{4}$$\pi$$ з) $$-\frac{\pi}{2}$$ в) $$\frac{5}{3}$$\pi$$; e) -$$\frac{3}{4}$$\pi$$ и) $$\frac{3}{2}$$\pi$$ 2) Вычислить! a) $$sin \frac{\pi}{4} \cdot sin \frac{\pi}{6}$$; б) $$tg \frac{\pi}{13} \cdot ctg \frac{\pi}{13}$$; в) $$sin(-\frac{\pi}{3}) \cdot sin 7\pi$$; г) $$cos \frac{\pi}{3} \cdot cos \frac{3\pi}{2}$$; д) $$5sin(-\frac{\pi}{2})+4cos0-3sin \frac{3\pi}{2}+cos^2 \frac{2\pi}{6}$$; 3) Найти $$sin\alpha, tg\alpha, ctg\alpha$$, если $$cos\alpha = \frac{12}{13}, \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$$; 4) Перевести в градусную меру угла $$\frac{5\pi}{9}; \frac{4\pi}{3}; \frac{4\pi}{5}; \frac{7\pi}{10}; \frac{5\pi}{15}; \frac{3\pi}{8}$$; 5) Перевести в радианную меру угла: 28°; 75°; 130°; 32°; 65°; 160°; 6) Найти значение выражения $$\frac{16 sin 64°}{cos 26°}$$ 7) Решить неравенство: $$\frac{4x^2+4x+1}{2x^2-5x-3} \ge 0$$ 8) Во вторник цена на товар поднялась на 10%. В среду цена на него поднялась ещё на 10%. На сколько % подорожал товар в итоге по сравнению с первоначальной ценой

Краткое пояснение

Ответ:

1) Отметить на числовой окружности точки, которые соответствуют числу:

1. $$\frac{\pi}{2}$$ - соответствует точке на верхней границе окружности (90 градусов).
2. $$\frac{\pi}{6}$$ - соответствует точке в первой четверти (30 градусов).
3. $$-\frac{\pi}{4}$$ - соответствует точке в четвертой четверти (-45 градусов).
4. $$8\pi$$ - соответствует точке 0, так как $$8\pi$$ это 4 полных оборота.
5. $$\frac{3\pi}{4}$$ - соответствует точке во второй четверти (135 градусов).
6. $$-\frac{3\pi}{4}$$ - соответствует точке в третьей четверти (-135 градусов).
7. $$\frac{5\pi}{3}$$ - соответствует точке в четвертой четверти (300 градусов).
8. $$-\frac{\pi}{2}$$ - соответствует точке на нижней границе окружности (-90 градусов).
9. $$\frac{3\pi}{2}$$ - соответствует точке на нижней границе окружности (270 градусов).

2) Вычислить!

1. \[ sin \frac{\pi}{4} \cdot sin \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} \]
2. \[ tg \frac{\pi}{13} \cdot ctg \frac{\pi}{13} = 1 \] (так как $$ctg x = \frac{1}{tg x}$$)
3. \[ sin(-\frac{\pi}{3}) \cdot sin 7\pi = -sin(\frac{\pi}{3}) \cdot sin(\pi + 6\pi) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 0 = 0 \]
4. \[ cos \frac{\pi}{3} \cdot cos \frac{3\pi}{2} = \frac{1}{2} \cdot 0 = 0 \]
5. \[ 5sin(-\frac{\pi}{2})+4cos0-3sin \frac{3\pi}{2}+cos^2 \frac{2\pi}{6} = 5 \cdot (-1) + 4 \cdot 1 - 3 \cdot (-1) + cos^2 \frac{\pi}{3} = -5 + 4 + 3 + (\frac{1}{2})^2 = 2 + \frac{1}{4} = \frac{9}{4} = 2.25 \]

3) Найти $$sin\alpha, tg\alpha, ctg\alpha$$, если $$cos\alpha = \frac{12}{13}, \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$$; \[ sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1 \] \[ sin^2\alpha = 1 - cos^2\alpha \] \[ sin^2\alpha = 1 - (\frac{12}{13})^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{169 - 144}{169} = \frac{25}{169} \] Так как $$\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$$, то $$\alpha$$ находится в четвертой четверти, где синус отрицательный. \[ sin\alpha = -\sqrt{\frac{25}{169}} = -\frac{5}{13} \] \[ tg\alpha = \frac{sin\alpha}{cos\alpha} = \frac{-\frac{5}{13}}{\frac{12}{13}} = -\frac{5}{12} \] \[ ctg\alpha = \frac{1}{tg\alpha} = -\frac{12}{5} \] 4) Перевести в градусную меру угла:

1. $$\frac{5\pi}{9} = \frac{5 \cdot 180}{9} = 100°$$
2. $$\frac{4\pi}{3} = \frac{4 \cdot 180}{3} = 240°$$
3. $$\frac{4\pi}{5} = \frac{4 \cdot 180}{5} = 144°$$
4. $$\frac{7\pi}{10} = \frac{7 \cdot 180}{10} = 126°$$
5. $$\frac{5\pi}{15} = \frac{5 \cdot 180}{15} = 60°$$
6. $$\frac{3\pi}{8} = \frac{3 \cdot 180}{8} = 67.5°$$

5) Перевести в радианную меру угла:

1. $$28° = \frac{28 \cdot \pi}{180} = \frac{7\pi}{45}$$
2. $$75° = \frac{75 \cdot \pi}{180} = \frac{5\pi}{12}$$
3. $$130° = \frac{130 \cdot \pi}{180} = \frac{13\pi}{18}$$
4. $$32° = \frac{32 \cdot \pi}{180} = \frac{8\pi}{45}$$
5. $$65° = \frac{65 \cdot \pi}{180} = \frac{13\pi}{36}$$
6. $$160° = \frac{160 \cdot \pi}{180} = \frac{8\pi}{9}$$

6) Найти значение выражения $$\frac{16 sin 64°}{cos 26°}$$ Так как $$cos(90° - x) = sin x$$, то $$cos 26° = cos(90° - 64°) = sin 64°$$. \[ \frac{16 sin 64°}{cos 26°} = \frac{16 sin 64°}{sin 64°} = 16 \] 7) Решить неравенство: $$\frac{4x^2+4x+1}{2x^2-5x-3} \ge 0$$ \[ \frac{(2x+1)^2}{2x^2-5x-3} \ge 0 \] Найдем корни квадратного уравнения $$2x^2-5x-3 = 0$$. $$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$$ $$x_1 = \frac{5 + 7}{4} = 3$$ $$x_2 = \frac{5 - 7}{4} = -\frac{1}{2}$$ Тогда $$2x^2-5x-3 = 2(x-3)(x+\frac{1}{2}) = (x-3)(2x+1)$$. Неравенство принимает вид: \[ \frac{(2x+1)^2}{(x-3)(2x+1)} \ge 0 \] \[ \frac{2x+1}{x-3} \ge 0, x
e -\frac{1}{2} \] $$2x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}$$ $$x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$$ Метод интервалов:

     +            -            +
------------------------------------>
             -1/2            3

Решение: $$x \in (-\infty; -\frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}; 3) \cup (3; +\infty)$$. 8) Во вторник цена на товар поднялась на 10%. В среду цена на него поднялась ещё на 10%. На сколько % подорожал товар в итоге по сравнению с первоначальной ценой Пусть первоначальная цена товара была $$x$$. Во вторник цена стала $$x + 0.1x = 1.1x$$. В среду цена стала $$1.1x + 0.1(1.1x) = 1.1x + 0.11x = 1.21x$$. То есть цена увеличилась на 21%.

Проверка за 10 секунд: Убедитесь, что все тригонометрические функции вычислены верно, углы переведены правильно, а неравенство решено с учетом всех ограничений.

Уровень эксперт: Помни, что перевод углов из градусов в радианы и обратно - важный навык для решения задач по тригонометрии. Тренируйся, и ты станешь настоящим экспертом!