Ответ:

Деепричастный оборот должен относиться к тому же лицу или предмету, что и сказуемое.

  1. «Зайдя в комнату, моё сердце застучало быстрее» — ошибка: в комнату зашло не сердце, а человек.
  2. «Девушка заговорила, смущённо опустив глаза» — ошибки нет: глаза опустила девушка.
  3. «Написав это произведение, автору захотелось создать его продолжение» — ошибка: произведение написал автор, но грамматическая основа не называет его действующим лицом.
  4. «Максим …, испугавшись перемен, не искал другой работы» — ошибки нет: перемен испугался Максим.

Ответ: 1 и 3.