Ответ:

  1. «Зайдя в комнату, моё сердце застучало быстрее» — ошибка: действие, обозначенное деепричастием, должно относиться к подлежащему. Сердце не могло зайти в комнату.
  2. «Девушка заговорила, смущённо опустив глаза» — ошибки нет: оба действия совершает девушка.
  3. «Написав это произведение, автору захотелось создать его продолжение» — ошибка: в главной части нет подлежащего, к которому можно отнести деепричастие.
  4. «Максим не раз задумывался о смене профессии, но, испугавшись перемен, не искал другой работы» — ошибки нет: оба действия совершает Максим.

Ответ: 1, 3.