Отметьте в координатной плоскости точки А(4;7), В(-8;9), С(-12;-1) и D(2;-6). Проведите прямые АС и BD. Найдите координаты точки пересечения: а) прямых АС и BD; б) прямой BD с осью ординат; в) прямой АС с осью абсцисс.

Решение:

Сначала отметим точки на координатной плоскости:

• \( A(4;7) \)
• \( B(-8;9) \)
• \( C(-12;-1) \)
• \( D(2;-6) \)

Теперь найдём уравнения прямых AC и BD.

Прямая AC:

Угловой коэффициент \( k_{AC} = \frac{y_C - y_A}{x_C - x_A} = \frac{-1 - 7}{-12 - 4} = \frac{-8}{-16} = \frac{1}{2} \).

Уравнение прямой: \( y - y_A = k_{AC}(x - x_A) \)

\( y - 7 = \frac{1}{2}(x - 4) \)

\( 2(y - 7) = x - 4 \)

\( 2y - 14 = x - 4 \)

\( x - 2y + 10 = 0 \) (1)

Прямая BD:

Угловой коэффициент \( k_{BD} = \frac{y_D - y_B}{x_D - x_B} = \frac{-6 - 9}{2 - (-8)} = \frac{-15}{10} = -\frac{3}{2} \).

Уравнение прямой: \( y - y_B = k_{BD}(x - x_B) \)

\( y - 9 = -\frac{3}{2}(x - (-8)) \)

\( 2(y - 9) = -3(x + 8) \)

\( 2y - 18 = -3x - 24 \)

\( 3x + 2y + 6 = 0 \) (2)

а) Точка пересечения прямых AC и BD:

Решим систему уравнений (1) и (2):

\( \begin{cases} x - 2y + 10 = 0 \\ 3x + 2y + 6 = 0 \end{cases} \)

Сложим уравнения:

\( (x - 2y + 10) + (3x + 2y + 6) = 0 \)

\( 4x + 16 = 0 \)

\( 4x = -16 \)

\( x = -4 \)

Подставим \( x = -4 \) в уравнение (1):

\( -4 - 2y + 10 = 0 \)

\( 6 - 2y = 0 \)

\( 2y = 6 \)

\( y = 3 \)

Точка пересечения: \( (-4;3) \).

б) Точка пересечения прямой BD с осью ординат:

На оси ординат \( x = 0 \). Подставим \( x = 0 \) в уравнение (2):

\( 3(0) + 2y + 6 = 0 \)

\( 2y + 6 = 0 \)

\( 2y = -6 \)

\( y = -3 \)

Точка пересечения: \( (0;-3) \).

в) Точка пересечения прямой AC с осью абсцисс:

На оси абсцисс \( y = 0 \). Подставим \( y = 0 \) в уравнение (1):

\( x - 2(0) + 10 = 0 \)

\( x + 10 = 0 \)

\( x = -10 \)

Точка пересечения: \( (-10;0) \).

Ответ: а) \( (-4;3) \); б) \( (0;-3) \); в) \( (-10;0) \).