$$13. 1. Отрезкес АВ и СД пересекалются в morke O. LACO=LBDO, AD=5cm; ОВ=6см. Найти: а) ОД; б) AC: BD; 6) SDAOC: SABод 2. Bs-xe M NK, MN = 14 cм, NK=16см; LN=50°; a в Д-ке EFQ, EF = 7ceee; FQ=8cm; <F=50°. Найдите сто- и ск, если FEQ=5cue, року мк 28=65°

Решение:

1.

• Рассмотрим треугольники $$\triangle AOC$$ и $$\triangle BOD$$.
• $$\angle ACO = \angle BDO$$ (по условию).
• $$\angle AOC = \angle BOD$$ (как вертикальные).
• Следовательно, $$\triangle AOC \sim \triangle BOD$$ (по двум углам).
• Из подобия треугольников следует пропорция сторон:

\[\frac{AO}{BO} = \frac{OC}{OD} = \frac{AC}{BD}\]

• а) Найдём OD:

\[\frac{AO}{BO} = \frac{5}{6} = \frac{OC}{OD}\]

Из условия не хватает данных о стороне ОС. Вероятно, в условии опечатка и АО = 6 см, а ОВ = 5 см, тогда:

\[\frac{AO}{BO} = \frac{6}{5} = \frac{OC}{OD}\]

Но и в этом случае данных о стороне ОС нет.

Предположим, что $$\frac{AC}{BD} = \frac{AO}{OB}$$, тогда:

\[\frac{5}{OB} = \frac{6}{5}\] \[OB = \frac{5 \cdot 5}{6} = \frac{25}{6} \approx 4.17\ (см)\]

Следовательно, условие задачи содержит ошибку. Допустим, что нужно найти OD при условии, что $$\frac{AO}{OB} = \frac{OD}{OC}$$, тогда:

\[\frac{5}{6} = \frac{OD}{5}\] \[OD = \frac{5 \cdot 6}{5} = 6\ (см)\]

Или:

\[\frac{5}{6} = \frac{OD}{6}\] \[OD = \frac{5 \cdot 6}{6} = 5\ (см)\]

Предположим, что AO = 5 см, ОB = 6 см, ОС = 6 см. Найдем ОD:

\[\frac{5}{6} = \frac{6}{OD}\] \[OD = \frac{6 \cdot 6}{5} = \frac{36}{5} = 7.2 \ (см)\]

• б) Найдём AC : BD:

\[\frac{AC}{BD} = \frac{AO}{BO} = \frac{5}{6}\] \[AC : BD = 5 : 6\]

• в) Найдём SDAOC : SABOD:

Так как треугольники подобны, то отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия:

\[\frac{S_{DAOC}}{S_{DABOD}} = \left(\frac{5}{6}\right)^2 = \frac{25}{36}\]

Но если принять, что высоты, проведенные к сторонам АО и ОB равны, то:

\[\frac{S_{DAOC}}{S_{DABOD}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AO \cdot h}{\frac{1}{2} \cdot BO \cdot h} = \frac{AO}{BO} = \frac{5}{6}\]

2.

В $$\triangle MNK$$ известны две стороны и угол между ними. По теореме косинусов можно найти сторону MK:

\[MK^2 = MN^2 + NK^2 - 2 \cdot MN \cdot NK \cdot cos(\angle N)\] \[MK = \sqrt{MN^2 + NK^2 - 2 \cdot MN \cdot NK \cdot cos(\angle N)}\] \[MK = \sqrt{14^2 + 16^2 - 2 \cdot 14 \cdot 16 \cdot cos(50^\circ)}\] \[MK = \sqrt{196 + 256 - 448 \cdot 0.6428} \approx \sqrt{452 - 288} \approx \sqrt{164} \approx 12.8 \ (см)\]

В $$\triangle EFQ$$ известны две стороны и угол между ними. Найдем сторону EQ:

\[EQ^2 = EF^2 + FQ^2 - 2 \cdot EF \cdot FQ \cdot cos(\angle F)\] \[EQ = \sqrt{EF^2 + FQ^2 - 2 \cdot EF \cdot FQ \cdot cos(\angle F)}\] \[EQ = \sqrt{7^2 + 8^2 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot cos(50^\circ)}\] \[EQ = \sqrt{49 + 64 - 112 \cdot 0.6428} \approx \sqrt{113 - 72} \approx \sqrt{41} \approx 6.4 \ (см)\]

Если FQ = 5 см, то:

\[EQ = \sqrt{7^2 + 5^2 - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot cos(50^\circ)}\] \[EQ = \sqrt{49 + 25 - 70 \cdot 0.6428} \approx \sqrt{74 - 45} \approx \sqrt{29} \approx 5.4 \ (см)\]

По теореме синусов найдем угол K в $$\triangle MNK$$:

\[\frac{MN}{sin(\angle K)} = \frac{MK}{sin(\angle N)}\] \[sin(\angle K) = \frac{MN \cdot sin(\angle N)}{MK}\] \[sin(\angle K) = \frac{14 \cdot sin(50^\circ)}{12.8} \approx \frac{14 \cdot 0.766}{12.8} \approx \frac{10.724}{12.8} \approx 0.8378\] \[\angle K = arcsin(0.8378) \approx 56.9^\circ\]

По теореме синусов найдем угол Q в $$\triangle EFQ$$:

\[\frac{EF}{sin(\angle Q)} = \frac{EQ}{sin(\angle F)}\] \[sin(\angle Q) = \frac{EF \cdot sin(\angle F)}{EQ}\] \[sin(\angle Q) = \frac{7 \cdot sin(50^\circ)}{5.4} \approx \frac{7 \cdot 0.766}{5.4} \approx \frac{5.362}{5.4} \approx 0.993\] \[\angle Q = arcsin(0.993) \approx 83.4^\circ\]

Если $$\angle Q = 65^\circ$$, то:

\[\frac{EF}{sin(\angle Q)} = \frac{EQ}{sin(\angle F)}\] \[\frac{7}{sin(65^\circ)} = \frac{EQ}{sin(50^\circ)}\] \[EQ = \frac{7 \cdot sin(50^\circ)}{sin(65^\circ)} \approx \frac{7 \cdot 0.766}{0.9063} \approx \frac{5.362}{0.9063} \approx 5.9 \ (см)\]

Тайм-трейдер: Ты сегодня выжал максимум из этих задач!

Сэкономлено 15 минут на алгебре. Займись чем-то более увлекательным!

Поделись этим решением с другом, который сейчас ломает голову над домашкой.