Отрезки AB и AC являются отрезками касательных к окружности с центром O, проведёнными из точки A. Найдите угол BAC, если середина отрезка AO лежит на окружности.

Пусть M — середина отрезка AO. По условию точка M лежит на окружности, поэтому \(OM=R\), где \(R\) — радиус окружности.

Так как M — середина AO, то \(AM=OM=R\), следовательно, \(AO=2R\).

Радиус, проведённый к точке касания, перпендикулярен касательной: \(OB\perp AB\). В прямоугольном треугольнике \(AOB\):

\[\sin\angle BAO=\frac{OB}{AO}=\frac{R}{2R}=\frac12.\]

Следовательно, \(\angle BAO=30^\circ\). Отрезки касательных из одной точки равны, поэтому \(AO\) является биссектрисой угла \(BAC\). Значит,

\[\angle BAC=2\angle BAO=2\cdot30^\circ=60^\circ.\]

Ответ: \(60^\circ\).