Отрезки AB и CD — диаметры окружности. Докажите, что: а) хорды BD и AC равны; б) хорды AD и BC равны; в) ∠BAD = ∠BCD.

а) Рассмотрим треугольники ΔAOC и ΔBOD. OA = OB = OC = OD (радиусы). Углы ∠AOC и ∠BOD вертикальные, следовательно, равны. По двум сторонам и углу между ними, ΔAOC = ΔBOD. Отсюда AC = BD.

б) Рассмотрим треугольники ΔAOD и ΔBOC. OA = OB = OC = OD (радиусы). Углы ∠AOD и ∠BOC вертикальные, следовательно, равны. По двум сторонам и углу между ними, ΔAOD = ΔBOC. Отсюда AD = BC.

в) Так как AC = BD (из пункта а), то дуги AC и BD равны. Углы ∠ABC и ∠BAD опираются на дугу AC, а углы ∠BAD и ∠BCD опираются на дугу BD. Так как дуги равны, то и вписанные углы, опирающиеся на них, равны. Следовательно, ∠BAD = ∠BCD.