Отрезки AC и BD — диаметры окружности с центром в точке О. Угол ACB равен 59°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

1. Так как AC — диаметр, то угол ABC — вписанный, опирающийся на диаметр. Следовательно, \( \angle ABC = 90^{\circ} \).

2. В прямоугольном треугольнике ABC найдём угол BAC:

\[ \angle BAC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 59^{\circ} = 31^{\circ} \]

3. Углы BAC и BDC — вписанные и опираются на одну дугу BC. Следовательно, \( \angle BDC = \angle BAC = 31^{\circ} \).

4. Угол AOD — центральный угол, опирающийся на дугу AD. Угол ABD — вписанный угол, опирающийся на дугу AD. Найдём \( \angle ABD \) в прямоугольном треугольнике ABD:

\[ \angle ABD = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 31^{\circ} = 59^{\circ} \]

5. Центральный угол \( \angle AOD \) равен удвоенному вписанному углу \( \angle ABD \), опирающемуся на ту же дугу:

\[ \angle AOD = 2 \times \angle ABD = 2 \times 59^{\circ} = 118^{\circ} \]

Альтернативное решение:

1. Углы ACB и ADB — вписанные, опираются на одну дугу AB. Следовательно, \( \angle ADB = \angle ACB = 59^{\circ} \).

2. Так как BD — диаметр, то угол BAD — вписанный, опирающийся на диаметр. Следовательно, \( \angle BAD = 90^{\circ} \).

3. В прямоугольном треугольнике BAD найдём угол ABD:

\[ \angle ABD = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 59^{\circ} = 31^{\circ} \]

4. Углы CAD и CBD — вписанные и опираются на одну дугу CD. Найдём \( \angle CBD \) в прямоугольном треугольнике ACB:

\[ \angle CBD = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 59^{\circ} = 31^{\circ} \]

5. Угол AOD — центральный угол, опирающийся на дугу AD. Угол ACD — вписанный, опирающийся на дугу AD. Найдём \( \angle ACD \) в прямоугольном треугольнике ACD:

\[ \angle ACD = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 31^{\circ} = 59^{\circ} \]

6. Центральный угол \( \angle AOD \) равен удвоенному вписанному углу \( \angle ACD \), опирающемуся на ту же дугу:

\[ \angle AOD = 2 \times \angle ACD = 2 \times 59^{\circ} = 118^{\circ} \]

Проверка:

Углы AOD и BOC — вертикальные, значит \( \angle AOD = \angle BOC \). Углы AOB и COD — вертикальные, значит \( \angle AOB = \angle COD \).

В треугольнике BOC \( \angle BOC = 180^{\circ} - \angle OBC - \angle OCB = 180^{\circ} - 31^{\circ} - 59^{\circ} = 90^{\circ} \). Следовательно \( \angle AOD = 90^{\circ} \). Что не совпадает с предыдущими расчетами.

Пересмотрим решение.

1. Угол ACB = 59°. AC — диаметр, значит \( \triangle ABC \) — прямоугольный. \( \angle ABC = 90^{\circ} \). \( \angle BAC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 59^{\circ} = 31^{\circ} \).

2. BD — диаметр. \( \triangle BCD \) — прямоугольный. \( \angle BCD = 90^{\circ} \). \( \angle BDC = \angle BAC = 31^{\circ} \) (опираются на дугу BC). \( \angle CBD = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 31^{\circ} = 59^{\circ} \).

3. Угол AOD — центральный угол, опирающийся на дугу AD. Вписанный угол, опирающийся на ту же дугу — \( \angle ABD \).

4. \( \angle ABD = \angle ABC - \angle DBC = 90^{\circ} - 59^{\circ} = 31^{\circ} \).

5. \( \angle AOD = 2 \times \angle ABD = 2 \times 31^{\circ} = 62^{\circ} \).

Ответ: 62.