Отрезки AD и AH — соответственно диаметр и хорда окружности с центром в точке O. Найдите \(\angle\) HOD, если \(\angle\) HAD = 32°.

Решение:

В треугольнике \( ADH \) угол \( \angle AHD = 90^{\circ} \), так как он вписан в окружность и опирается на диаметр \( AD \).

Угол \( \angle HAD = 32^{\circ} \) дан по условию.

В треугольнике \( ADH \) сумма углов равна \( 180^{\circ} \). Найдем \( \angle ADH \):

\( \angle ADH = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 32^{\circ} = 58^{\circ} \).

Угол \( \angle HOD \) является центральным углом, опирающимся на дугу \( HD \). Угол \( \angle HAD \) является вписанным углом, опирающимся на ту же дугу \( HD \).

Центральный угол в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Следовательно:

\( \angle HOD = 2 \cdot \angle HAD \)

\( \angle HOD = 2 \cdot 32^{\circ} = 64^{\circ} \).

Альтернативное решение:

В треугольнике \( ODH \) \( OD = OH \) (радиусы окружности), значит, треугольник \( ODH \) равнобедренный.

Угол \( \angle OHD \) равен углу \( \angle ODH \), который мы нашли ранее, \( \angle OHD = \angle ODH = 58^{\circ} \).

Тогда угол \( \angle HOD \) в треугольнике \( ODH \) равен:

\( \angle HOD = 180^{\circ} - (\angle OHD + \angle ODH) \)

\( \angle HOD = 180^{\circ} - (58^{\circ} + 58^{\circ}) \)

\( \angle HOD = 180^{\circ} - 116^{\circ} = 64^{\circ} \).

Ответ: 64°.