Отрезки AD и АН — соответственно диаметр и хорда окружности с центром в точке О. Выберите верное утверждение. Найдите ∠HOD, если ∠HAD = 24°.

Решение:

Дано:

• AD — диаметр окружности с центром в точке О.
• AH — хорда окружности.
• \( \angle HAD = 24^{\circ} \).

Найти:

• \( \angle HOD \).

Выбор верного утверждения:

Рассмотрим предложенные утверждения:

• \( AH = AD \) — Неверно. Хорда может быть равна диаметру только в частном случае, когда она сама является диаметром.
• \( AH \) — диаметр — Неверно. На чертеже видно, что AH не проходит через центр О.
• \( \angle HOD = \angle HAD \) — Неверно. Эти углы не обязательно равны.
• \( AO = OH \) — Верно. AO и OH — радиусы окружности, поэтому они равны.

Нахождение \( \angle HOD \):

1. Так как AD — диаметр, то \( \angle AHD \) — угол, опирающийся на диаметр. Следовательно, \( \angle AHD = 90^{\circ} \).

2. В прямоугольном треугольнике \( \triangle AHD \), сумма углов равна \( 180^{\circ} \):

\( \angle HAD + \angle ADH + \angle AHD = 180^{\circ} \)

\( 24^{\circ} + \angle ADH + 90^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( \angle ADH = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 24^{\circ} = 66^{\circ} \).

3. \( \angle HOD \) — центральный угол, который опирается на дугу HD. \( \angle HAD \) — вписанный угол, который опирается на ту же дугу HD. Центральный угол в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу.

4. \( \angle HAD \) опирается на дугу HD. Следовательно, \( \angle HOD = 2 \cdot \angle HAD \).

\( \angle HOD = 2 \cdot 24^{\circ} = 48^{\circ} \).

Ответ: \( \angle HOD = 48^{\circ} \).