Отрезки AM и BM образуют равные углы с диаметром полукруга. Найдите его радиус, если AM = 8, BM = 12, а расстояние от центра полукруга до отрезка MB равно 6.

Обозначим через θ угол между отрезком MB и диаметром. По условию отрезки AM и BM образуют с диаметром равные углы. Пусть O — центр полукруга, а OM = d.

1. Перпендикулярное расстояние от O до MB равно 6, поэтому d sin θ = 6.

2. Рассмотрим прямоугольные треугольники, образованные проекциями AM и BM на диаметр. Обозначим cos θ через c. Из равенства OA = OB, после раскрытия квадратов расстояний до точек A и B, получаем 64 + 16dc = 144 − 24dc, откуда dc = 2.

3. Так как d sin θ = 6 и d cos θ = 2, то d² = 6² + 2² = 40.

4. Радиус равен OB. По теореме Пифагора в координатной записи относительно M: R² = (12c − d)² + (12 sin θ)² = 144 − 24dc + d² = 144 − 48 + 40 = 136.

Ответ: R = 2√34.