Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика1. Отрезки АВ и AD – касательные к окружности с центром О, точки В и D – точки касания. Найдите углы треугольника АВО, если ∠BAD = 56°. 2. В окружность с радиусом 10 см вписан прямоугольный треугольник, один катет которого равен 16 см. Найдите второй катет. 3*. Две хорды пересекаются в точке, которая делит одну из них на отрезки 8 м и 9 м. На какие отрезки разделилась вторая хорда, если она равна 22 м? 4*. Треугольник ABD – равнобедренный с основанием AD. Его периметр равен 64 см, DB = 20 см. Найдите длины отрезков DM и ВМ (М – точка касания вписанной окружности со стороной BD).
Ответ:
Задача 1
Т.к. AB и AD - касательные к окружности с центром O, то углы ABO и ADO прямые, т.е. \[\angle ABO = \angle ADO = 90^{\circ}.\]
Рассмотрим четырехугольник ABOD. Сумма углов четырехугольника равна 360°, следовательно, \[\angle BOD = 360^{\circ} - \angle ABO - \angle ADO - \angle BAD = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} - 56^{\circ} = 124^{\circ}.\]
Рассмотрим треугольник ABO. Он прямоугольный, AO - гипотенуза, BO - катет, являющийся радиусом окружности. Т.к. треугольник ABO прямоугольный, то сумма острых углов равна 90°. Т.к. BO = DO (радиусы), то треугольник BDO равнобедренный, следовательно, углы при основании BD равны: \[\angle OBD = \angle ODB = \frac{180^{\circ} - \angle BOD}{2} = \frac{180^{\circ} - 124^{\circ}}{2} = 28^{\circ}.\] Тогда \[\angle BAO = 90^{\circ} - \angle OBD = 90^{\circ} - 28^{\circ} = 62^{\circ}.\]
Ответ: ∠ABO = 90°, ∠BAO = 62°, ∠BOA = 28°.
Задача 2
Пусть данный прямоугольный треугольник ABC, где угол C = 90°, AC = 16 см, радиус вписанной окружности r = 10 см. Найдем катет BC.
По теореме Пифагора, \[AB^2 = AC^2 + BC^2.\]
Выразим катет BC: \[BC = \sqrt{AB^2 - AC^2}.\]
Для прямоугольного треугольника \[r = \frac{AC + BC - AB}{2}.\]
Выразим AB: \[AB = AC + BC - 2r = 16 + BC - 2 \cdot 10 = BC - 4.\]
Подставим в теорему Пифагора:\[(BC - 4)^2 = 16^2 + BC^2; \quad BC^2 - 8BC + 16 = 256 + BC^2.\]
Упростим выражение: \[8BC = -240; \quad BC = 30.\]
Ответ: Второй катет равен 30 см.
Задача 3
Пусть одна хорда делится на отрезки 8 м и 9 м, а вторая хорда, равная 22 м, делится на отрезки x и (22 - x). По свойству пересекающихся хорд, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: \[8 \cdot 9 = x \cdot (22 - x).\]
Решим квадратное уравнение: \[72 = 22x - x^2; \quad x^2 - 22x + 72 = 0.\]
Найдем дискриминант: \[D = (-22)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 72 = 484 - 288 = 196.\]
Найдем корни уравнения: \[x_1 = \frac{22 + \sqrt{196}}{2} = \frac{22 + 14}{2} = 18, \quad x_2 = \frac{22 - \sqrt{196}}{2} = \frac{22 - 14}{2} = 4.\]
Если x = 18, то второй отрезок 22 - 18 = 4. Если x = 4, то второй отрезок 22 - 4 = 18.
Ответ: Вторая хорда разделилась на отрезки 4 м и 18 м.
Задача 4
Пусть треугольник ABD равнобедренный с основанием AD, периметр равен 64 см, DB = 20 см. Т.к. треугольник равнобедренный, AB = DB = 20 см. Тогда AD = P - AB - DB = 64 - 20 - 20 = 24 см.
Пусть M - точка касания вписанной окружности со стороной BD. Т.к. в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является и медианой, то точка касания M делит сторону BD пополам. Следовательно, BM = DM = DB / 2 = 20 / 2 = 10 см.
Ответ: DM = 10 см, BM = 10 см.
