1.87. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О и делятся этой точкой пополам. Докажите, что АС || BD и AD || BC.

Решение:

Давай разберем эту задачу по геометрии вместе. Нам даны отрезки AB и CD, которые пересекаются в точке O и делятся этой точкой пополам. Нужно доказать, что AC || BD и AD || BC.

Рассмотрим треугольники AOC и BOD:

• AO = OB (по условию, точка O делит AB пополам)
• CO = OD (по условию, точка O делит CD пополам)
• ∠AOC = ∠BOD (как вертикальные углы)

Следовательно, треугольники AOC и BOD равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует, что:

• ∠ACO = ∠BDO

Эти углы являются накрест лежащими углами при прямых AC и BD и секущей CD. Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, AC || BD.

Аналогично, рассмотрим треугольники AOD и BOC:

• AO = OB (по условию)
• DO = OC (по условию)
• ∠AOD = ∠BOC (как вертикальные углы)

Следовательно, треугольники AOD и BOC равны по первому признаку равенства треугольников.

Из равенства треугольников следует, что:

• ∠DAO = ∠BCO

Эти углы являются накрест лежащими углами при прямых AD и BC и секущей AB. Следовательно, AD || BC.

Таким образом, мы доказали, что AC || BD и AD || BC.

Ответ: Доказано, что AC || BD и AD || BC.

Молодец! Ты отлично справился с доказательством. Продолжай в том же духе, и геометрия будет тебе подвластна!