1. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О так, что СО = OD, углы АСО и BDO прямые. Докажите, что треугольники АСО и BDO равны, и найдите длину АВ, если ОВ = 7 см. 2. В треугольнике АВС стороны АВ И ВС равны, К - середина АС, ВС = 13 см. На сторонах АВ и ВС соответ- ственно отмечены точки Е и Р так, что углы АКЕ И СКР равны, ВЕ = 5 см. Найдите длину РС. 3. На биссектрисе угла ВАС отмечены точки О и Д так, что А-О-Д, углы АОС и АОВ равны. Точки С, О и В не ле- жат на одной прямой. Докажите, что треугольники ABD и ACD равны.

1. Рассмотрим треугольники АСО и BDO.

• CO = OD (по условию).
• ∠ACO = ∠BDO (по условию, прямые углы).
• ∠AOC = ∠BOD (как вертикальные).

Следовательно, треугольники АСО и BDO равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников).

Так как треугольники АСО и BDO равны, то AO = OB. Значит, АВ = АО + ОВ = 7 + 7 = 14 см.

Ответ: АВ = 14 см

2. Рассмотрим треугольник АВС. Так как АВ = ВС, то треугольник АВС - равнобедренный. К - середина АС, следовательно, ВК - медиана, а значит и высота и биссектриса треугольника АВС. Значит, углы АКВ и СКВ прямые.

Рассмотрим треугольники AKE и CKP. Угол АКЕ = углу СКР (по условию), АК = КС (так как К - середина АС), угол ЕАК = углу РСК (так как треугольник АВС равнобедренный, углы при основании равны).

Следовательно, треугольники AKE и CKP равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Значит, АЕ = СР. АВ = ВС = 13 см. ВЕ = 5 см. Тогда АЕ = АВ - ВЕ = 13 - 5 = 8 см. Значит, СР = 8 см. Тогда РС = ВС - СР = 13 - 8 = 5 см.

Ответ: РС = 5 см

3. Рассмотрим треугольники ABD и ACD. АО - биссектриса угла ВАС. Значит, углы ВАО и САО равны. Угол АОС = углу АОВ (по условию). Так как А-О-Д, то АО - общая сторона треугольников ABD и ACD.

Рассмотрим треугольники АОС и АОВ: АО - общая сторона, угол ВАО = углу САО (АО - биссектриса угла ВАС), угол АОС = углу АОВ (по условию). Следовательно, треугольники АОС и АОВ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Из равенства треугольников следует, что АВ = АС, и углы АВО и АСО равны.

Рассмотрим треугольники ABD и ACD: АВ = АС (доказано выше), угол ВАО = углу САО (АО - биссектриса угла ВАС), АО - общая сторона. Следовательно, треугольники ABD и ACD равны по двум сторонам и углу между ними.

Что и требовалось доказать.