Отрезки АВ и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB = 10, а расстояния от центра окружности до хорд АВ и СД равны соответственно 12 и 5.

Решение:

Задача 23.19

Пусть О — центр окружности. Проведём перпендикуляры из центра О к хордам АВ и CD. Пусть эти перпендикуляры равны d_AB и d_CD соответственно. По условию, d_AB = 12 и d_CD = 5.

Перпендикуляр из центра окружности к хорде делит её пополам. Пусть М — середина АВ, N — середина CD. Тогда AM = MB = \( \frac{AB}{2} = \frac{10}{2} = 5 \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник ОМА. По теореме Пифагора:

\( OA^2 = OM^2 + AM^2 \) \( OA^2 = 12^2 + 5^2 \) \( OA^2 = 144 + 25 \) \( OA^2 = 169 \) \( OA = \sqrt{169} = 13 \)

OA — радиус окружности. Так как радиус одной окружности постоянен, то ОА = ОС = 13.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ONC. По теореме Пифагора:

\( OC^2 = ON^2 + CN^2 \) \( 13^2 = 5^2 + CN^2 \) \( 169 = 25 + CN^2 \) \( CN^2 = 169 - 25 \) \( CN^2 = 144 \) \( CN = \sqrt{144} = 12 \)

CN — половина длины хорды CD. Следовательно, длина хорды CD равна \( 2 \times CN = 2 \times 12 = 24 \).

Ответ: 24.