Отрезки АВ и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки АС и BD пересекаются в точке М. Найдите МС, если АВ=14, DC=42, AC = 52.

Решение:

Рассмотрим треугольники \( \triangle ABM \) и \( \triangle CDM \).

1. Так как \( AB \parallel DC \) (по условию, отрезки лежат на параллельных прямых), то накрест лежащие углы равны: \( \angle BAM = \angle DCM \) и \( \angle ABM = \angle CDM \).
2. Вертикальные углы равны: \( \angle AMB = \angle CMD \).
3. По третьему признаку равенства треугольников (по двум углам и стороне между ними), \( \triangle ABM \sim \triangle CDM \) (подобны).

4. Отношение подобия равно отношению соответствующих сторон: \( \frac{AB}{DC} = \frac{AM}{CM} = \frac{BM}{DM} \).
5. Нам дано: \( AB=14 \), \( DC=42 \), \( AC=52 \).
6. Найдем отношение подобия: \( \frac{AB}{DC} = \frac{14}{42} = \frac{1}{3} \).
7. Значит, \( \frac{AM}{CM} = \frac{1}{3} \).
8. Также \( AM + CM = AC = 52 \).
9. Пусть \( AM = k \), тогда \( CM = 3k \).
10. \( k + 3k = 52 \)
11. \( 4k = 52 \)
12. \( k = \frac{52}{4} = 13 \).
13. Тогда \( CM = 3k = 3 \cdot 13 = 39 \).

Ответ: MC = 39.