23. Отрезки АВ и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки АС и BD пересекаются в точке М. Найдите МС, если АВ = 18, DC = 24, AC = 28.

Обозначим отрезок MC за x, тогда AM = AC - MC = 28 - x.

Рассмотрим треугольники ABM и CDM.

1) ∠ABM = ∠CDM как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и DC и секущей BD.

2) ∠AMB = ∠CMD как вертикальные углы.

Следовательно, треугольники ABM и CDM подобны по двум углам (признак подобия треугольников).

Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:

$$\frac{AM}{MC} = \frac{AB}{DC}$$

Подставим известные значения:

$$\frac{28 - x}{x} = \frac{18}{24}$$

Упростим дробь:

$$\frac{28 - x}{x} = \frac{3}{4}$$

Решим уравнение:

4 × (28 - x) = 3 × x

112 - 4x = 3x

112 = 7x

x = 112 ∶ 7

x = 16

Следовательно, MC = 16.

Ответ: 16