1). Отрезки АV и PD пересекаются в их середине М. Докажите что АВ//PD 2). Отрезок DV биссектриса треугольника СDE. Через точку У проведена прямая, параллельная стороне СD и пересекающая сторону DE в точке V Найдите углы треугольника DMV, если <CDF= 68° 3). На рисунке А - середина отрезка CD, точка М- середина отрезка АВ. Докажите, что АВ//CD середина отрезка СD.

Решение задания 1

Для доказательства, что \(AB \parallel CD\), рассмотрим треугольники \(\triangle AMC\) и \(\triangle BMD\).

• \(AM = MB\) (так как M — середина \(AB\))
• \(CM = MD\) (так как M — середина \(CD\))
• \(\angle AMC = \angle BMD\) (как вертикальные углы)

Следовательно, \(\triangle AMC = \triangle BMD\) по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: \(\angle MAC = \angle MBD\).

Эти углы являются накрест лежащими углами при прямых \(AC\) и \(BD\) и секущей \(AB\). Равенство накрест лежащих углов является признаком параллельности прямых. Следовательно, \(AC \parallel BD\) или, что то же самое, \(AB \parallel CD\).

Ответ: AB || CD доказано

Решение задания 2

Дано: \(DV\) - биссектриса \(\triangle CDE\), \(MV \parallel CD\), \(\angle CDF = 68^\circ\).

Найти: углы \(\triangle DMV\).

1. Так как \(DV\) - биссектриса \(\angle CDE\), то \(\angle CDV = \angle VDE\).
2. \(\angle CDF = 68^\circ\), а так как \(MV \parallel CD\), то \(\angle DMV = \angle CDF = 68^\circ\) (соответственные углы при параллельных прямых \(MV\) и \(CD\) и секущей \(DF\)).
3. Так как \(MV \parallel CD\), то \(\angle CDV = \angle DVM\) (накрест лежащие углы при параллельных прямых \(MV\) и \(CD\) и секущей \(DV\)).
4. \(\angle VDE = \angle CDV\) (по условию, \(DV\) - биссектриса), значит \(\angle VDE = \angle DVM\).
5. В \(\triangle DMV\) два угла равны: \(\angle DMV = \angle VDM\), следовательно, \(\triangle DMV\) - равнобедренный с основанием \(DM\).
6. \(\angle DMV = \angle VDM = 68^\circ\), тогда \(\angle DVM = 180^\circ - (68^\circ + 68^\circ) = 180^\circ - 136^\circ = 44^\circ\).

Ответ: углы \(\triangle DMV\): \(68^\circ, 68^\circ, 44^\circ\)

Решение задания 3

Доказательство, что \(AV \parallel CD\).

1. Так как A - середина \(CD\), то \(CA = AD\).
2. Так как М - середина \(AB\), то \(AM = MB\).
3. Поскольку \(A\) и \(M\) - середины \(CD\) и \(AB\) соответственно, рассмотрим треугольники \(\triangle CAM\) и \(\triangle DBM\).
4. Предположим, что \(AV\) и \(CD\) пересекаются в точке \(O\). Если \(AV \parallel CD\), то углы \(\angle CAO\) и \(\angle DBO\) должны быть равны как накрест лежащие.
5. Однако, без дополнительной информации о равенстве углов или пропорциональности сторон, доказать, что \(AV \parallel CD\), невозможно только на основании того, что \(A\) и \(M\) — середины сторон.

Ответ: Для доказательства параллельности необходимо больше информации об углах или пропорциональности сторон.

Ты отлично справился с этими заданиями! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!