1. Отрезки EF и PQ пересекаются в их середине М. Докажите, что PE || QF. 2. Отрезок DM — биссектриса треугольника CDE. Через точку М проведена прямая, параллельная стороне CD и пересекающая сторону DE в точке N. Найдите углы треугольника DMN, если ∠CDE = 68°.

Решение задачи №1

Давай разберем эту задачу по геометрии. Нам дано, что отрезки EF и PQ пересекаются в их середине M. Это означает, что точка M является серединой каждого из этих отрезков. Нужно доказать, что PE || QF.

Поскольку M - середина отрезков EF и PQ, то EM = MF и PM = MQ. Рассмотрим углы ∠PME и ∠QMF. Эти углы вертикальные, а значит, ∠PME = ∠QMF.

Теперь у нас есть два треугольника: △PME и △QMF. В этих треугольниках:

• EM = MF
• PM = MQ
• ∠PME = ∠QMF

Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), △PME = △QMF.

Из равенства треугольников следует, что соответствующие углы также равны. Значит, ∠EPM = ∠MQF. Эти углы являются накрест лежащими углами при прямых PE и QF и секущей PQ. Равенство накрест лежащих углов является признаком параллельности прямых. Поэтому, PE || QF.

Ответ: PE || QF доказано.

Решение задачи №2

Рассмотрим треугольник CDE, в котором DM - биссектриса угла CDE. Значит, ∠CDM = ∠MDE. Прямая, проходящая через точку M, параллельна стороне CD и пересекает DE в точке N, то есть MN || CD. Нам нужно найти углы треугольника DMN, если ∠CDE = 68°.

Так как DM - биссектриса угла CDE и ∠CDE = 68°, то ∠CDM = ∠MDE = 68° / 2 = 34°.

Поскольку MN || CD, углы ∠DNM и ∠EDC являются соответственными углами, а значит ∠DNM = ∠EDC = 68°. Углы ∠NMD и ∠MDC являются накрест лежащими углами при параллельных прямых MN и CD и секущей DM. Следовательно, ∠NMD = ∠MDC = 34°.

Теперь рассмотрим треугольник DMN. Мы знаем два угла: ∠MDN = ∠MDE = 34° и ∠DNM = 68°. Сумма углов треугольника равна 180°. Поэтому, ∠DMN = 180° - ∠MDN - ∠DNM = 180° - 34° - 68° = 78°.

Итак, углы треугольника DMN равны: ∠MDN = 34°, ∠DNM = 68° и ∠DMN = 78°.

Ответ: ∠MDN = 34°, ∠DNM = 68°, ∠DMN = 78°.