Отрезки МЕ и РК являются диаметрами окружности с центром О. Докажите, что: а) ∠EMP = ∠MPK; б) отрезки МК и РЕ равны. 1) Отложить от данного луча угол, равный данному. 2) Построить середину данного отрезка. 1) Построить биссектрису данного неразвернутого угла.

Рассмотрим задачу по геометрии.

а) Дано: Окружность с центром O, ME и PK - диаметры. Доказать: ∠EMP = ∠MPK.

Доказательство:

Так как ME и PK - диаметры, то точки M, O, E и P, O, K лежат на одной прямой.

Угол ∠MOP и угол ∠EOK - вертикальные, следовательно, ∠MOP = ∠EOK.

Углы ∠EMP и ∠MPK - вписанные и опираются на хорды MP и EK соответственно.

Так как центральные углы ∠MOP и ∠EOK равны, то и хорды, на которые они опираются, равны: MP = EK.

Вписанные углы, опирающиеся на равные хорды, равны, следовательно, ∠EMP = ∠MPK.

б) Дано: Окружность с центром O, ME и PK - диаметры. Доказать: MK = PE.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники ΔMOK и ΔPOE.

MO = OE (радиусы), OK = OP (радиусы).

∠MOK = ∠POE (вертикальные углы).

Следовательно, ΔMOK = ΔPOE по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: MK = PE.

Доказано.

Дополнительные построения:

1. Отложить от данного луча угол, равный данному.
2. Построить середину данного отрезка.
3. Построить биссектрису данного неразвернутого угла.

Ответ: Доказано, что ∠EMP = ∠MPK и MK = PE.