3. Отрезки ОР и КМ пересекаются в точке С, причем КР = МО И КР || МО. Докажите, что ДКРС = ∆МОС. 4. АВ и CD- диаметры одной окружности. Докажите, что АС || BD и найдите ∠ABC, если ∠BAD = 44°. 5*. На рисунке NP || BD, MB – биссектриса угла NMC, СР — бис- сектриса угла MCD. Найдите <МВС, если ДМСР = 65°. NM P N B CD

Решение задачи 3

Давай докажем равенство треугольников ΔKPC и ΔMOC.

1. KP = MO (по условию).
2. ∠PKC = ∠MOC (как вертикальные углы).
3. ∠KPC = ∠OMC (как накрест лежащие углы при KP || MO и секущей PO).

Следовательно, ΔKPC = ΔMOC по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников).

Решение задачи 4

Давай докажем, что AC || BD и найдем ∠ABC, если ∠BAD = 44°.

1. Так как AB и CD - диаметры, то ∠BAD и ∠BCD - вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу BD. Следовательно, ∠BCD = ∠BAD = 44°.
2. Рассмотрим четырехугольник ACBD. ∠BAD = ∠CDB (как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу). Следовательно, AC || BD (если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны).
3. ∠ABC = 90° - ∠BAD = 90° - 44° = 46°. (∠ABC опирается на диаметр AC, значит, он прямой. ∠ABC = 90° минус ∠BAD, так как ∠BAD и ∠ABC - углы в прямоугольном треугольнике).

Решение задачи 5

Давай найдем ∠MBC, если ∠MCP = 65°.

1. Так как CP - биссектриса угла MCD, то ∠MCD = 2 * ∠MCP = 2 * 65° = 130°.
2. Так как NP || BD, то ∠NMC + ∠MBC = 180° (как односторонние углы).
3. Так как MB - биссектриса угла NMC, то ∠NMC = 2 * ∠BMC.
4. ∠MCD + ∠BMC = 180° (так как BD || NP).
5. ∠BMC = 180° - ∠MCD = 180° - 130° = 50°.
6. ∠NMC = 2 * ∠BMC = 2 * 50° = 100°.
7. ∠MBC = 180° - ∠NMC = 180° - 100° = 80°.

Ответ: ∠MBC = 80°