1. Отрезки PN и ED пересекаются в их середине М. Докажите, что EN || PD.

Для доказательства параллельности прямых EN и PD при условии, что отрезки PN и ED пересекаются в точке M, являющейся их серединой, можно использовать признаки параллельности прямых, основанные на равенстве углов, образующихся при пересечении этих прямых секущей.

Рассмотрим четырехугольник ENPD, где M - точка пересечения диагоналей PN и ED. Если точка M является серединой обоих отрезков, то EM = MD и PM = MN.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники EMN и DMP.
2. В этих треугольниках:
   • EM = MD (по условию, M - середина ED).
   • MN = MP (по условию, M - середина PN).
   • ∠EMN = ∠DMP (как вертикальные углы).
3. Следовательно, треугольники EMN и DMP равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
4. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠MEN = ∠MDP.
5. Углы MEN и MDP являются накрест лежащими углами при прямых EN и PD и секущей ED.
6. Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
7. Следовательно, EN || PD.

Ответ: Прямые EN и PD параллельны, что и требовалось доказать.