Отрезки в ромбе. При каких углах ромба в нём возможна система пяти равных отрезков, показанная на рисунке?

Обозначим вершины ромба сверху вниз через A и C, слева и справа — через B и D, а внутренние точки на рисунке — через E и F. По отметкам равны отрезки AE, EF, FC, BE и FD.

Так как AE = EF = FC, точки A, E, F, C лежат на одной диагонали и AC = 3AE. Пусть AE = x. Тогда AC = 3x.

Проведём вторую диагональ BD. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам. Пусть O — их точка пересечения. Тогда AO = 1,5x, а EO = AO − AE = 0,5x.

В прямоугольном треугольнике BEO гипотенуза BE равна x. По теореме Пифагора:

\(BO^2 + (0.5x)^2 = x^2\), поэтому \(BO = \frac{\sqrt{3}}{2}x\).

В прямоугольном треугольнике AOB получаем \(\tan\angle BAO = \frac{BO}{AO} = \frac{\sqrt{3}}{3}\), откуда \(\angle BAO = 30^\circ\). Диагональ ромба делит углы при вершинах A и C пополам, следовательно, эти углы равны \(60^\circ\), а углы B и D — \(120^\circ\).

Ответ: углы ромба — 60° и 120°.