Отрезок AB не пересекается с плоскостью α. Через концы отрезка AB и его середину (точку M) проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость α в точках A₁, B₁ и M₁. а) Докажите, что точки A₁, B₁ и M₁ лежат на одной прямой. б) Найдите AA₁, если BB₁ = 12 см, MM₁ = 8 см.

а) Рассмотрим плоскость, проходящую через отрезок AB и одну из проведённых параллельных прямых, например через прямую MM₁. В этой плоскости прямые AA₁, MM₁ и BB₁ параллельны.

Так как M — середина отрезка AB, то по теореме о пропорциональных отрезках точка M₁ делит отрезок A₁B₁ пополам. Следовательно, точки A₁, M₁ и B₁ лежат на одной прямой.

б) Поскольку отрезок AB не пересекает плоскость α, точки A и B находятся по одну сторону от плоскости. Расстояния до плоскости вдоль параллельных прямых изменяются линейно, поэтому для середины M выполняется:

\[MM_1=\frac{AA_1+BB_1}{2}.\]

Подставим известные значения:

\[8=\frac{AA_1+12}{2}.\]

\[16=AA_1+12,\]

\[AA_1=4\text{ см}.\]

Ответ: а) точки A₁, M₁ и B₁ лежат на одной прямой; б) AA₁ = 4 см.