Отрезок AB пересекает плоскость α в точке O. Прямые AA₁ и BB₁ перпендикулярны к плоскости α и пересекают её в точках A₁ и B₁ соответственно. Найдите AB, если B₁B = 6√3, ∠OBB₁ = 30°, A₁A : B₁B = 1 : 3.

В прямоугольном треугольнике \(OBB_1\) угол \(OBB_1=30^\circ\), а \(BB_1=6\sqrt3\). Поэтому

\[\sin 30^\circ=\frac{BB_1}{OB}=\frac{6\sqrt3}{OB},\qquad OB=12\sqrt3.\]

Так как \(A_1A:B_1B=1:3\), то

\[A_1A=\frac{1}{3}\cdot6\sqrt3=2\sqrt3.\]

Отрезки \(AA_1\) и \(BB_1\) перпендикулярны плоскости \(\alpha\), а точки \(A,O,B\) лежат на одной прямой. Следовательно, треугольники \(A_1OA\) и \(B_1OB\) подобны, и

\[\frac{A_1O}{OB_1}=\frac{A_1A}{B_1B}=\frac13.\]

В треугольнике \(OBB_1\):

\[OB_1=OB\cos30^\circ=12\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{2}=18.\]

Значит, \(A_1O=6\). В прямоугольном треугольнике \(A_1OA\):

\[AO=\sqrt{A_1O^2+A_1A^2}=\sqrt{6^2+(2\sqrt3)^2}=\sqrt{48}=4\sqrt3.\]

Тогда

\[AB=AO+OB=4\sqrt3+12\sqrt3=16\sqrt3.\]

Ответ: \(16\sqrt3\).