Отрезок АН — перпендикуляр, проведённый из точки А к прямой, проходящей через центр О окружности радиуса 3 см. Является ли прямая АН касательной к окружности, если: а) ОА = 5 см, АН = 4 см; б) ∠НАО = 45°, ОА = 4 см; в) ∠НАО = 30°, ОА = 6 см?

Привет! Давай разберемся с этой задачей про касательную к окружности.

Что такое касательная?

Касательная к окружности — это прямая, которая имеет с окружностью ровно одну общую точку. Важное свойство: радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

Условие задачи:

• АН — перпендикуляр из точки А к прямой, проходящей через центр О окружности.
• Радиус окружности (r) = 3 см.
• Нужно выяснить, является ли прямая АН касательной в трех разных случаях.

Ключевой момент:

Чтобы прямая АН была касательной, точка Н должна лежать на окружности, а значит, расстояние от центра О до точки касания (то есть радиус) должно быть равно длине отрезка ОН. Кроме того, в задаче сказано, что АН - перпендикуляр к прямой, проходящей через центр О, поэтому угол АНО = 90 градусов.

Рассмотрим случаи:

а) ОА = 5 см, АН = 4 см

1. В прямоугольном треугольнике АНО (угол АНО = 90°) найдем длину ОН по теореме Пифагора:
• \[ OH^2 = OA^2 - AH^2 \]
• \[ OH^2 = 5^2 - 4^2 \]
• \[ OH^2 = 25 - 16 \]
• \[ OH^2 = 9 \]
• \[ OH = \sqrt{9} = 3 \] см
2. Сравним полученное значение ОН с радиусом окружности: ОН = 3 см, r = 3 см.
3. Поскольку ОН = r, точка Н лежит на окружности. Следовательно, прямая АН является касательной.

б) ∠НАО = 45°, ОА = 4 см

1. В прямоугольном треугольнике АНО (угол АНО = 90°) найдем длину ОН, используя синус угла НАО:
• \[ OH = OA \times \sin(\angle NAO) \]
• \[ OH = 4 \times \sin(45^{\circ}) \]
• \[ OH = 4 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \] см
2. Сравним полученное значение ОН с радиусом окружности: ОН = $$2\sqrt{2}$$ см ≈ 2.828 см, r = 3 см.
3. Поскольку ОН < r, точка Н находится внутри окружности. Прямая АН не является касательной (она будет пересекать окружность в двух точках).

в) ∠НАО = 30°, ОА = 6 см

1. В прямоугольном треугольнике АНО (угол АНО = 90°) найдем длину ОН, используя синус угла НАО:
• \[ OH = OA \times \sin(\angle NAO) \]
• \[ OH = 6 \times \sin(30^{\circ}) \]
• \[ OH = 6 \times \frac{1}{2} = 3 \] см
2. Сравним полученное значение ОН с радиусом окружности: ОН = 3 см, r = 3 см.
3. Поскольку ОН = r, точка Н лежит на окружности. Следовательно, прямая АН является касательной.

Ответ:

• а) Да, является.
• б) Нет, не является.
• в) Да, является.