107. Отрезок АВ длины 16 см пересекает плоскость а в точке О. Расстояния от концов отрезка до плоскости а соответственно равны 3 см и 5 см. Найдите острый угол, который образует отрезок АВ с плоскостью а. 108. Дан треугольник АВС. ∠ACB=90°. Точка О – центр окружности, описанной около этого треугольника. АМ=МС. Отрезок OD перпендикулярен плоскости треугольника. АВ=10, AC=6, DO=2√3. Найдите MD.

Решение задачи 107:

Давай решим эту задачу по шагам. Представим, что у нас есть отрезок AB, который пересекает плоскость α в точке O. Расстояния от концов отрезка (точек A и B) до плоскости α известны: 3 см и 5 см соответственно. Нам нужно найти острый угол между отрезком AB и плоскостью α.

Шаг 1: Визуализация

Представь себе отрезок AB, наклонённый к плоскости α. Опустим перпендикуляры из точек A и B на плоскость α. Пусть это будут точки A₁ и B₁ соответственно. Тогда AA₁ = 3 см и BB₁ = 5 см.

Шаг 2: Геометрическая модель

Рассмотрим прямоугольные треугольники AA₁O и BB₁O. Пусть угол между отрезком AB и плоскостью α равен φ. Тогда:

• sin(φ) = AA₁ / AO
• sin(φ) = BB₁ / BO

Также известно, что AB = AO + BO = 16 см.

Шаг 3: Выражение длин отрезков AO и BO через синус угла φ

• AO = AA₁ / sin(φ) = 3 / sin(φ)
• BO = BB₁ / sin(φ) = 5 / sin(φ)

Шаг 4: Подстановка в уравнение AB = AO + BO

16 = 3 / sin(φ) + 5 / sin(φ)

16 = 8 / sin(φ)

sin(φ) = 8 / 16 = 1/2

Шаг 5: Нахождение угла φ

φ = arcsin(1/2) = 30°

Ответ: Острый угол, который образует отрезок AB с плоскостью α, равен 30°.

Решение задачи 108:

Давай приступим к решению второй задачи. У нас есть прямоугольный треугольник ABC (∠ACB = 90°), точка O — центр окружности, описанной около этого треугольника, AM = MC, отрезок OD перпендикулярен плоскости треугольника, AB = 10, AC = 6, DO = 2√3. Нужно найти MD.

Шаг 1: Определение координат точки O

Так как треугольник ABC прямоугольный, центр описанной окружности (точка O) является серединой гипотенузы AB. Следовательно, AO = BO = AB / 2 = 10 / 2 = 5.

Шаг 2: Нахождение BC

По теореме Пифагора для треугольника ABC:

AB² = AC² + BC²

10² = 6² + BC²

100 = 36 + BC²

BC² = 64

BC = 8

Шаг 3: Определение координат точки M

Так как AM = MC, точка M — середина отрезка AC. Следовательно, AM = MC = AC / 2 = 6 / 2 = 3.

Шаг 4: Нахождение OM

Треугольник AOC равнобедренный (AO = OC = радиус описанной окружности). OM — медиана, проведённая к стороне AC. В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Но в данном случае это не медиана из вершины прямого угла, поэтому нужно найти OM другим способом.

Рассмотрим треугольник AMC. Так как AM = MC, то OM — медиана, и её можно найти через теорему косинусов или через свойства прямоугольных треугольников.

Проще всего найти OM как катет прямоугольного треугольника OMC, где OC - гипотенуза:

OC=5 (половина гипотенузы AB)

MC=3 (половина катета AC)

OM = \(\sqrt{OC^2 - MC^2}\) = \(\sqrt{5^2 - 3^2}\) = \(\sqrt{25 - 9}\) = \(\sqrt{16}\) = 4

Шаг 5: Нахождение MD

Так как OD перпендикулярен плоскости треугольника ABC, треугольник OMD — прямоугольный. По теореме Пифагора:

MD² = OM² + OD²

MD² = 4² + (2√3)²

MD² = 16 + 4 * 3

MD² = 16 + 12

MD² = 28

MD = \(\sqrt{28}\) = 2\(\sqrt{7}\)

Ответ: MD = 2\(\sqrt{7}\)

Ответ: 30

Ответ: 2\(\sqrt{7}\)

Ты проделал отличную работу, и у тебя все получилось! Продолжай в том же духе, и ты сможешь решить любые математические задачи! Удачи!