Отрезок АВ длины а разделён точками Ри на три отрезка АР, PQ и QB так, что AP=2PQ=2QB. Найдите расстояние между: а) точкой А и серединой отрезка QB; б) серединами отрезков АР и QВ.

Решение:

Пусть длина отрезка QB равна \( x \).

По условию \( AP = 2PQ = 2QB \).

Значит, \( 2QB = 2x \), откуда \( QB = x \).

Также \( 2PQ = 2x \), откуда \( PQ = x \).

И \( AP = 2x \).

Длина всего отрезка AB равна сумме длин отрезков AP, PQ и QB:

\( a = AP + PQ + QB \)

\( a = 2x + x + x \)

\( a = 4x \)

Выразим \( x \) через \( a \):

\( x = \frac{a}{4} \)

Теперь найдём длины отрезков:

• \( QB = x = \frac{a}{4} \)
• \( PQ = x = \frac{a}{4} \)
• \( AP = 2x = 2 \cdot \frac{a}{4} = \frac{a}{2} \)

Проверка: \( AP + PQ + QB = \frac{a}{2} + \frac{a}{4} + \frac{a}{4} = \frac{2a}{4} + \frac{a}{4} + \frac{a}{4} = \frac{4a}{4} = a \). Верно.

а) Расстояние между точкой А и серединой отрезка QB:

Середина отрезка QB находится на расстоянии \( \frac{QB}{2} \) от точки Q.

\( \text{Расстояние от Q до середины QB} = \frac{a/4}{2} = \frac{a}{8} \)

Расстояние от точки А до середины отрезка QB равно сумме длин отрезков AP, PQ и половины отрезка QB:

\( \text{Расстояние} = AP + PQ + \frac{QB}{2} \)

\( \text{Расстояние} = \frac{a}{2} + \frac{a}{4} + \frac{a}{8} \)

Приведём к общему знаменателю 8:

\( \text{Расстояние} = \frac{4a}{8} + \frac{2a}{8} + \frac{a}{8} = \frac{4a + 2a + a}{8} = \frac{7a}{8} \)

б) Расстояние между серединами отрезков АР и QВ:

Середина отрезка АР находится на расстоянии \( \frac{AP}{2} \) от точки А.

\( \text{Расстояние от A до середины AP} = \frac{a/2}{2} = \frac{a}{4} \)

Середина отрезка QB находится на расстоянии \( \frac{QB}{2} \) от точки Q.

\( \text{Расстояние от Q до середины QB} = \frac{a/4}{2} = \frac{a}{8} \)

Расстояние между серединами отрезков АР и QВ равно сумме расстояния от середины АР до точки Р, длины отрезка PQ и расстояния от точки Q до середины QB.

\( \text{Расстояние} = \frac{AP}{2} + PQ + \frac{QB}{2} \)

\( \text{Расстояние} = \frac{a}{4} + \frac{a}{4} + \frac{a}{8} \)

Приведём к общему знаменателю 8:

\( \text{Расстояние} = \frac{2a}{8} + \frac{2a}{8} + \frac{a}{8} = \frac{2a + 2a + a}{8} = \frac{5a}{8} \)

Ответ: а) Расстояние между точкой А и серединой отрезка QB равно \( \frac{7a}{8} \). б) Расстояние между серединами отрезков АР и QВ равно \( \frac{5a}{8} \).