196 Отрезок АВ разбит точками С и Д на три равные части АС, CD и DВ. Из отрезка АВ выбирают случайную точку Х. Найдите вероятность того, что точка Х а) принадлежит отрезку CD; б) не принадлежит отрезку CD. 197 Длина огрезка М№ равна 3 см. Из этого отрезка наудачу выбирают одну точ ку. Найдите вероятность того, что эта точка удалена от точки М: а) менее чем на 1 см; б) не более чем на 2 см. 198 Углы АОВ и COD вертикальные. При этом точка с лежит на луче АО и ∠ АОВ= 60°. Из окружности с центром в точке О случайным образом вы бирают точку Х. Найдите вероятность того, что точка Х лежит: а) внутри хотя бы одного из углов ВОС или AOD; б) внутри угла DOC. 199 На окружности с центром О выбрана точка А. Из этой окружности выбирают случайную точку Х. Найдите вероятность того, что угол АОХ: а) меньше 90°; б) больше 120°; в) находится в пределах от 30° до 60°. 200 В окружность вписан равносторонний треугольник АВС. На этой окружности случайным образом выбирают две точки того, что отрезок DE: Ди Е. Найдите вероятность а) не пересекает ни одну из сторон треугольника; б) пересекает ровно две стороны треугольника.

Ответ:

196

• Отрезок AB разбит на три равные части: AC, CD и DB.
• Пусть длина каждой части равна x. Тогда длина отрезка AB равна 3x.

a) Вероятность того, что точка X принадлежит отрезку CD:

Вероятность = (Длина отрезка CD) / (Длина отрезка AB) = x / (3x) = 1/3

б) Вероятность того, что точка X не принадлежит отрезку CD:

Вероятность = 1 - (Вероятность того, что точка X принадлежит отрезку CD) = 1 - 1/3 = 2/3

197

• Длина отрезка MN равна 3 см.

а) Вероятность того, что точка удалена от точки M менее чем на 1 см:

Вероятность = (Длина отрезка длиной 1 см) / (Длина отрезка MN) = 1/3

б) Вероятность того, что точка удалена от точки M не более чем на 2 см:

Вероятность = (Длина отрезка длиной 2 см) / (Длина отрезка MN) = 2/3

198

• Углы AOB и COD вертикальные, ∠AOB = 60°.
• Точка C лежит на луче AO.

а) Вероятность того, что точка X лежит внутри хотя бы одного из углов BOC или AOD:

Угол BOC = 180° - 60° = 120°. Угол AOD = 60°. Вероятность = (Угол BOC + Угол AOD) / 360° = (120° + 60°) / 360° = 180° / 360° = 1/2

б) Вероятность того, что точка X лежит внутри угла DOC:

Вероятность = (Угол DOC) / 360° = 60° / 360° = 1/6

199

• На окружности с центром O выбрана точка A.

а) Вероятность того, что угол AOX меньше 90°:

Вероятность = 90° / 360° = 1/4

б) Вероятность того, что угол AOX больше 120°:

Вероятность = (360° - 120°) / 360° = 240° / 360° = 2/3

в) Вероятность того, что угол AOX находится в пределах от 30° до 60°:

Вероятность = (60° - 30°) / 360° = 30° / 360° = 1/12

200

• В окружность вписан равносторонний треугольник ABC.
• Выбирают две точки D и E.

а) Вероятность того, что отрезок DE не пересекает ни одну из сторон треугольника:

Чтобы отрезок DE не пересекал ни одну из сторон треугольника, обе точки должны находиться на одной дуге, стягиваемой стороной треугольника. Длина каждой дуги составляет 1/3 от длины всей окружности. Вероятность того, что обе точки попадут на одну и ту же дугу, равна 3 * (1/3 * 1/3) = 1/3.

б) Вероятность того, что отрезок DE пересекает ровно две стороны треугольника:

Чтобы отрезок DE пересекал ровно две стороны треугольника, необходимо, чтобы точки D и E находились на разных дугах, стягиваемых сторонами треугольника. Вероятность этого события равна 1 - (вероятность не пересечения) - (вероятность пересечения одной стороны). Вероятность пересечения одной стороны стремится к нулю. Значит, вероятность равна 1 - 1/3 = 2/3.

Ответ: