1. Отрезок АВ является диаметром окружности. Найдите длину хорды ВК, если радиус окружности равен 7,5, хорда АК равна 9. 2. Равнобедренный треугольник МРК с основанием МР вписан в окружность с центром О. Найдите МРК, если ZMOP = 160°.

Задача 1

Отрезок AB - диаметр, радиус окружности равен 7.5, следовательно, диаметр AB = 2 * 7.5 = 15. Хорда AK = 9. Нужно найти длину хорды BK.

Треугольник ABK вписан в окружность, и сторона AB является диаметром. Следовательно, угол AKB - прямой, то есть треугольник ABK - прямоугольный. Тогда, по теореме Пифагора:

\[AB^2 = AK^2 + BK^2\]

\[BK^2 = AB^2 - AK^2\]

\[BK^2 = 15^2 - 9^2 = 225 - 81 = 144\]

\[BK = \sqrt{144} = 12\]

Ответ: Длина хорды BK равна 12.

Задача 2

Треугольник MPK равнобедренный с основанием MP, вписан в окружность с центром O. \(\angle MOP = 160^\circ\). Нужно найти \(\angle MPK\).

Так как треугольник MPK равнобедренный, MK = PK. Угол MOP - центральный угол, опирающийся на дугу MP. Вписанный угол MPK опирается на ту же дугу MP. Следовательно, \(\angle MPK = \frac{1}{2} \angle MOP\), если точка K лежит на большей дуге MP.

Но, так как треугольник MPK равнобедренный, центр окружности O лежит на высоте, проведенной из вершины K к основанию MP. Значит, K лежит на большей дуге MP. Тогда:

\[\angle MPK = \frac{1}{2} \cdot 160^\circ = 80^\circ\]

Ответ: \(\angle MPK = 80^\circ\)