Отрезок АВ является отрезком касательной к окружности с центром О, где В точка касания. Найдите длину отрезка АВ, если ∠AOB =45°, а диаметр окружности равен 18 см. Отрезок АВ является диаметром окружности с центром О. Хорды АС и ВС равны. Докажите, что треугольник АОС равен треугольнику СОВ.

Задание 1

Смотри, тут всё просто: касательная к окружности всегда перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Это значит, что у нас есть прямоугольный треугольник.

• OB – радиус окружности, который равен половине диаметра.
• AB – это отрезок касательной, который нам нужно найти.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Находим радиус окружности:

\[OB = \frac{1}{2} \cdot \text{диаметр} = \frac{1}{2} \cdot 18 = 9 \text{ см}\]

2. Шаг 2: В прямоугольном треугольнике AOB, угол AOB равен 45 градусов. Тангенс угла AOB равен отношению противолежащего катета AB к прилежащему катету OB:

\[\tan(\angle AOB) = \frac{AB}{OB}\]

3. Шаг 3: Выражаем AB через тангенс угла AOB и OB:

\[AB = OB \cdot \tan(\angle AOB)\]

4. Шаг 4: Подставляем известные значения:

\[AB = 9 \cdot \tan(45^\circ)\]

5. Шаг 5: Тангенс 45 градусов равен 1:

\[AB = 9 \cdot 1 = 9 \text{ см}\]

Ответ: 9 см

Задание 2

Разбираемся:

• Отрезок AB является диаметром окружности с центром O.
• Хорды AC и BC равны.

Доказательство:

1. Шаг 1: AO = OB, так как это радиусы одной и той же окружности.
2. Шаг 2: OC – общая сторона для треугольников AOC и COB.
3. Шаг 3: AC = BC по условию задачи.

Получается, что треугольники AOC и COB имеют три равные стороны: AO = OB, OC – общая, AC = BC.

По третьему признаку равенства треугольников (SSS – side-side-side), если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Следовательно, треугольник AOC равен треугольнику COB.