2. Отрезок DM – биссектриса треугольника ADC. Через точку M проведена прямая, параллельная стороне CD и пересекающая сторону DA в точке N. Найдите углы треугольника DMN, если ∠ADC = 72°.

Дано: ΔADC, DM – биссектриса ∠ADC, MN || CD, N ∈ DA, ∠ADC = 72°.

Найти: ∠DMN, ∠DNM, ∠MDN.

Решение:

1. Так как DM – биссектриса ∠ADC, то ∠ADM = ∠MDC. $$∠ADM = ∠MDC = \frac{1}{2} ∠ADC = \frac{1}{2} \cdot 72° = 36°$$
2. Так как MN || CD, то ∠DMN = ∠MDC как накрест лежащие углы. $$∠DMN = ∠MDC = 36°$$
3. Рассмотрим треугольник DMN. Сумма углов треугольника равна 180°. Так как MN || CD, то ∠DNM и ∠DCA - соответственные углы, а ∠DCA = ∠DNM. Поскольку прямая MN параллельна стороне CD, угол DNM равен углу ADC, а значит $$\angle DNM = 180° - (∠ADC+∠DAC)$$. Так как MN || CD, то углы ∠MDC и ∠DMN равны как накрест лежащие. $$∠DNM = 180° - ∠ADC = 180° - 72° = 108°$$. $$∠MDN = 180° - ∠DMN - ∠DNM = 180° - 36° - 108° = 36°$$

Ответ: ∠DMN = 36°, ∠DNM = 108°, ∠MDN = 36°.