3. Отрезок DM - биссектриса ACDE. Через точку М проведена прямая, пересекающая сторону DE в точке № так, что DN = MN. Найдите углы ADMN, если ∠CDE = 74°. 4*. Из точек А и В, лежащих по одну сторону от прямой, проведены перпендикуляры АС и BD к этой прямой, ∠BAC = 117°. а) Найти: ∠ABD. б) Доказать: прямые AB и CD пересекаются.

3. Задача про треугольник \(\Delta DMN\)

Давай разберем эту задачу по геометрии. Нам дано, что отрезок DM - биссектриса угла CDE, прямая через точку M пересекает сторону DE в точке N, DN = MN и угол CDE = 74 градуса. Наша цель - найти углы треугольника DMN.

Решение:

Поскольку DM - биссектриса угла CDE, то \[\angle CDM = \angle MDE = \frac{1}{2} \angle CDE = \frac{1}{2} \cdot 74^\circ = 37^\circ\]

Теперь рассмотрим треугольник DMN. Из условия DN = MN, следует, что треугольник DMN - равнобедренный с основанием DM. Значит, углы при основании равны:

\[\angle MDN = \angle DMN\]

Поскольку \[\angle MDE = 37^\circ\] то \[\angle MDN = 37^\circ\] (так как N лежит на DE).

Тогда и \[\angle DMN = 37^\circ\]

Теперь найдем угол DNM. Сумма углов в треугольнике равна 180 градусам. Значит,\[\angle DNM = 180^\circ - \angle MDN - \angle DMN = 180^\circ - 37^\circ - 37^\circ = 106^\circ\]

Ответ:

• \(\angle MDN = 37^\circ\)
• \(\angle DMN = 37^\circ\)
• \(\angle DNM = 106^\circ\)

4. Задача про перпендикуляры и прямые

Теперь перейдем к следующей задаче. У нас есть точки A и B, лежащие по одну сторону от прямой. Из этих точек проведены перпендикуляры AC и BD к этой прямой, и угол BAC = 117 градусов.

а) Найти: \(\angle ABD\).

б) Доказать: прямые AB и CD пересекаются.

Решение:

a) Давай найдем угол ABD.

Поскольку AC и BD - перпендикуляры к одной и той же прямой, то углы \(\angle ACB\) и \(\angle BDA\) прямые (равны 90 градусам).

Рассмотрим четырехугольник ACBD. Сумма углов в четырехугольнике равна 360 градусов. Значит,

\[\angle ACB + \angle BDA + \angle BAC + \angle ABD = 360^\circ\]

\[90^\circ + 90^\circ + 117^\circ + \angle ABD = 360^\circ\]

\[297^\circ + \angle ABD = 360^\circ\]

\[\angle ABD = 360^\circ - 297^\circ = 63^\circ\]

б) Теперь докажем, что прямые AB и CD пересекаются.

Рассмотрим углы \(\angle BAC = 117^\circ\) и \(\angle ABD = 63^\circ\). Их сумма равна \[117^\circ + 63^\circ = 180^\circ\]

Поскольку сумма внутренних односторонних углов при прямых AC и BD и секущей AB равна 180 градусам, то прямые AC и BD параллельны.

Предположим, что прямые AB и CD не пересекаются. Тогда они должны быть параллельны. Но если AB параллельна CD, то углы BAC и ACD должны быть равны как внутренние накрест лежащие. Однако, угол BAC = 117 градусов, а угол ACD = 90 градусов. Значит, AB и CD не параллельны.

Таким образом, прямые AB и CD пересекаются.

Ответ: a) \(\angle ABD = 63^\circ\); б) Прямые AB и CD пересекаются.

Отличная работа! Ты хорошо справился с этими задачами. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!