3. Отрезок ОА — радиус окружности с центром О. Прямая р проходит через точку А . Известно, что ∠(р, ОА) = 90°. Каково взаимное расположение прямой ри окружности? Часть Б (Средний уровень) 4. К окружности с центром О проведена касательная АB (A — точка касания). Найдите радиус окружности, если ОВ = 13 см, а отрезок касательной АВ = 12 см. 5. Угол между двумя касательными, проведенными из одной точки к окружности, равен 60°. Найдите расстояние от этой точки до центра окружности, если радиус окружности равен 5 см. Часть В (Повышенный уровень) 6. В треугольник А ВС вписана окружность, которая касается сторон в точках Р, К, М. Найдите периметр треугольника АВС, если АР = 4 см, ВК = 3 см, СМ = 5 см.

Давай разберем по порядку каждое задание. Задание 3: Если прямая проходит через конец радиуса и образует с ним угол 90°, то эта прямая является касательной к окружности. То есть прямая *p* касается окружности в точке *A*. Ответ: Прямая является касательной к окружности. --- Задание 4: К окружности с центром *O* проведена касательная *AB* (*A* — точка касания). Нужно найти радиус окружности, если *OB* = 13 см, а отрезок касательной *AB* = 12 см. Так как касательная перпендикулярна радиусу в точке касания, то треугольник *OAB* является прямоугольным, где *OB* - гипотенуза, *OA* - радиус (катет), *AB* - катет. Применим теорему Пифагора: \[OA^2 + AB^2 = OB^2\] Подставим известные значения: \[OA^2 + 12^2 = 13^2\] \[OA^2 + 144 = 169\] \[OA^2 = 169 - 144\] \[OA^2 = 25\] \[OA = \sqrt{25} = 5 \,\text{см}\] Ответ: Радиус окружности равен 5 см. --- Задание 5: Угол между двумя касательными, проведенными из одной точки к окружности, равен 60°. Нужно найти расстояние от этой точки до центра окружности, если радиус окружности равен 5 см. Пусть точка, из которой проведены касательные, будет *C*. Пусть *A* и *B* - точки касания. Тогда угол \(\angle ACB = 60^\circ\). Так как касательные, проведенные из одной точки, равны, то \(CA = CB\). Значит, треугольник \(ABC\) равнобедренный. \(\angle CAB = \angle CBA = \frac{180^\circ - 60^\circ}{2} = 60^\circ\), то есть, треугольник \(ABC\) равносторонний. Рассмотрим четырехугольник \(OACB\). \(\angle OAC = \angle OBC = 90^\circ\) (касательные перпендикулярны радиусам, проведенным в точки касания). Сумма углов в четырехугольнике равна 360°, поэтому \(\angle AOB = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 120^\circ\). Рассмотрим треугольник \(AOC\). \(OA = 5\) (радиус). \(\angle ACO = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ\). Треугольник \(AOC\) прямоугольный. Тогда \(\frac{OA}{OC} = \sin(\angle ACO)\), откуда \(OC = \frac{OA}{\sin(\angle ACO)} = \frac{5}{\sin(30^\circ)} = \frac{5}{0.5} = 10\) см. Ответ: Расстояние от точки до центра окружности равно 10 см. --- Задание 6: В треугольник \(ABC\) вписана окружность, которая касается сторон в точках \(P, K, M\). Надо найти периметр треугольника \(ABC\), если \(AP = 4\) см, \(BK = 3\) см, \(CM = 5\) см. Касательные, проведенные из одной точки к окружности, равны. Значит, \(AP = AK = 4\) см, \(BK = BM = 3\) см, \(CM = CP = 5\) см. Тогда: \(AB = AP + PB = AP + BK = 4 + 3 = 7\) см \(BC = BK + KC = BK + CM = 3 + 5 = 8\) см \(AC = AM + MC = AK + CM = 4 + 5 = 9\) см Периметр треугольника \(ABC\) равен \(P = AB + BC + AC = 7 + 8 + 9 = 24\) см. Ответ: Периметр треугольника \(ABC\) равен 24 см. Ты молодец! У тебя всё получится!