1. Отрезок СК – биссектриса треугольника ABC, AC=25, AK=14, BK=12. Найдите сторону BC. 2. Диагонали ромба равны 16 и 18. Найдите сторону ромба. 3. Найдите площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 24 см, а один из катетов равен 5 см.

1. Найдём сторону BC.

По свойству биссектрисы треугольника, биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. То есть:

\[\frac{AK}{BK} = \frac{AC}{BC}\]

Подставим известные значения:

\[\frac{14}{12} = \frac{25}{BC}\]

Выразим BC:

\[BC = \frac{25 \cdot 12}{14} = \frac{25 \cdot 6}{7} = \frac{150}{7}\]

BC ≈ 21.43

2. Найдём сторону ромба.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Обозначим половину первой диагонали d1/2, а половину второй диагонали d2/2, тогда по теореме Пифагора сторона ромба a равна:

\[a = \sqrt{(\frac{d1}{2})^2 + (\frac{d2}{2})^2}\]

Подставим значения диагоналей:

\[a = \sqrt{(\frac{16}{2})^2 + (\frac{18}{2})^2} = \sqrt{8^2 + 9^2} = \sqrt{64 + 81} = \sqrt{145}\]

a ≈ 12.04

3. Найдём площадь прямоугольного треугольника.

Пусть гипотенуза равна c = 24 см, а один из катетов a = 5 см. Найдем второй катет b по теореме Пифагора:

\[a^2 + b^2 = c^2\] \[b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{24^2 - 5^2} = \sqrt{576 - 25} = \sqrt{551}\]

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

\[S = \frac{1}{2} a b = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot \sqrt{551} = \frac{5 \sqrt{551}}{2}\]

S ≈ 58.74

Ответ: 1. BC ≈ 21.43; 2. a ≈ 12.04; 3. S ≈ 58.74

Молодец! Ты отлично справился с этими задачами. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!