Отрезок ВК соединяет вершину В треугольника АВС с точкой на противоположной стороне. При этом известно, что ∠AKB = 105°, AB = 12, AC = 24, AK = 6. Найдите ∠ABC. Ответ дайте в градусах.

Решение:

1. Рассмотрим треугольник AKB. В нём известны две стороны AB = 12, AK = 6 и угол ∠AKB = 105°. По теореме синусов имеем:

   $$\frac{AB}{\sin \angle AKB} = \frac{AK}{\sin \angle ABK}$$

   Подставляем известные значения:

   $$\frac{12}{\sin 105^\circ} = \frac{6}{\sin \angle ABK}$$

   Выразим синус угла ABK:

   $$\sin \angle ABK = \frac{6 \cdot \sin 105^\circ}{12} = \frac{\sin 105^\circ}{2}$$

   Известно, что $$\sin 105^\circ = \sin (60^\circ + 45^\circ) = \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$$

   Тогда:

   $$\sin \angle ABK = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} \approx 0.483$$

   Угол $$\angle ABK = \arcsin(0.483) \approx 28.89^\circ$$

2. Найдём угол BAK:

   $$\angle BAK = 180^\circ - \angle AKB - \angle ABK = 180^\circ - 105^\circ - 28.89^\circ = 46.11^\circ$$

3. Применим теорему синусов для треугольника ABC:

   $$\frac{AC}{\sin \angle ABC} = \frac{AB}{\sin \angle ACB}$$

   Нужно найти угол ACB. Заметим, что углы AKB и CKB смежные, поэтому:

   $$\angle CKB = 180^\circ - \angle AKB = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ$$

   Рассмотрим треугольник AKC. В нём известны две стороны AC = 24, AK = 6 и угол ∠AKC = 75°. По теореме синусов имеем:

   $$\frac{AC}{\sin \angle AKC} = \frac{AK}{\sin \angle ACK}$$ $$\frac{24}{\sin 75^\circ} = \frac{6}{\sin \angle ACK}$$ $$\sin \angle ACK = \frac{6 \cdot \sin 75^\circ}{24} = \frac{\sin 75^\circ}{4}$$

   Известно, что $$\sin 75^\circ = \sin (45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$$

   Тогда:

   $$\sin \angle ACK = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{16} \approx 0.241$$

   Угол $$\angle ACK = \arcsin(0.241) \approx 13.94^\circ$$

4. Подставим известные значения в теорему синусов для треугольника ABC:

   $$\frac{24}{\sin \angle ABC} = \frac{12}{\sin 13.94^\circ}$$ $$\sin \angle ABC = \frac{24 \cdot \sin 13.94^\circ}{12} = 2 \cdot \sin 13.94^\circ = 2 \cdot 0.241 = 0.482$$

   Угол $$\angle ABC = \arcsin(0.482) \approx 28.82^\circ$$

Ответ: 29