Отрезок ВМ – биссектриса угла В треугольника АВС, в котором ∠A=30°, ∠B=60°. Найдите длину стороны АС, если известно, что СМ=9.

Давай решим эту задачу по геометрии вместе! Сначала найдем угол C в треугольнике ABC. Сумма углов в треугольнике равна 180 градусам, поэтому: \[\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 30^\circ - 60^\circ = 90^\circ\] Таким образом, треугольник ABC – прямоугольный с прямым углом C. Так как BM – биссектриса угла B, то \(\angle ABM = \angle CBM = \frac{1}{2} \angle B = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ\). Рассмотрим треугольник BCM. В этом треугольнике \(\angle CBM = 30^\circ\) и \(\angle C = 90^\circ\), следовательно, \(\angle BMC = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\). Теперь рассмотрим треугольник ABM. В этом треугольнике \(\angle A = 30^\circ\) и \(\angle ABM = 30^\circ\), следовательно, треугольник ABM – равнобедренный, и AM = BM. Обозначим CM = 9. Нам нужно найти AC, где AC = AM + MC. Сначала найдем BM, используя треугольник BCM: \[\frac{CM}{BM} = \cos(\angle BMC)\] \[\frac{9}{BM} = \cos(30^\circ)\] \[\frac{9}{BM} = \frac{\sqrt{3}}{2}\] \[BM = \frac{9 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{18}{\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3}\] Так как AM = BM, то AM = \(6\sqrt{3}\). Теперь найдем AC: \[AC = AM + MC = 6\sqrt{3} + 9\]

Ответ: AC = 6√3 + 9

Отлично! Ты уверенно справился с этой задачей. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!