Отрезок ВМ соединяет вершину треугольника АВС с точкой М, лежащей между вершинами А и С. Сделайте рисунок. 1) Чему равна сумма градусных мер всех углов треугольников АВМ и ВСМ? 2) Чему равна сумма углов всех треугольников, изображенных на рисунке? Ответ: 1) ...; 2) ..........

Решение:

В данном случае отрезок ВМ делит треугольник АВС на два меньших треугольника: АВМ и ВСМ. Точка М лежит на стороне АС.

1) Сумма углов треугольника АВС:

• По теореме о сумме углов треугольника, сумма углов любого треугольника равна 180°.
• Таким образом, для треугольника АВС: ∠A + ∠B + ∠C = 180°.

2) Сумма углов треугольников АВМ и ВСМ:

• Для треугольника АВМ: ∠BAM + ∠ABM + ∠AMB = 180°.
• Для треугольника ВСМ: ∠BCM + ∠CBM + ∠BMC = 180°.
• Складывая эти два равенства, получаем:
• (∠BAM + ∠BCM) + (∠ABM + ∠CBM) + (∠AMB + ∠BMC) = 180° + 180° = 360°.
• Обратим внимание, что:
• ∠BAM = ∠A
• ∠BCM = ∠C
• ∠ABM + ∠CBM = ∠B
• ∠AMB + ∠BMC = 180° (так как это смежные углы, образующие прямую АС).
• Таким образом, сумма углов треугольников АВМ и ВСМ равна сумме всех углов треугольника АВС плюс 180° (сумма смежных углов AMB и BMC).
• Сумма углов треугольников АВМ и ВСМ = (∠A + ∠C) + ∠B + 180° = 180° + 180° = 360°.

3) Сумма углов всех треугольников, изображенных на рисунке:

• На рисунке изображены треугольник АВС, треугольник АВМ и треугольник ВСМ.
• Сумма углов треугольника АВС = 180°.
• Сумма углов треугольников АВМ и ВСМ = 360°.
• Следовательно, сумма углов всех треугольников (АВС, АВМ, ВСМ) = 180° + 360° = 540°.

Ответ: 1) 360°; 2) 540°