Отрезок ВВ₁ — биссектриса треугольника АВС. Докажите, что ВА > В₁А и ВС > В₁С.

Question

Вопрос:

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Краткое пояснение: Докажем, что \(BA > B_1A\) и \(BC > B_1C\), используя свойства биссектрисы и неравенство треугольника.

Пусть \(BB_1\) - биссектриса треугольника \(ABC\). Тогда \(\angle ABB_1 = \angle CBB_1\). Нужно доказать, что \(BA > B_1A\) и \(BC > B_1C\).

Показать доказательство

Рассмотрим треугольник \(ABB_1\). В нем \(BA\) - сторона, противолежащая углу \(\angle BB_1A\), а \(B_1A\) - сторона, противолежащая углу \(\angle ABB_1\).
Если \(\angle BB_1A > \angle ABB_1\), то \(BA > B_1A\).
\(\angle BB_1A\) - внешний угол треугольника \(BB_1C\), поэтому \(\angle BB_1A = \angle CBB_1 + \angle C\).
Так как \(\angle C > 0^\circ\), то \(\angle BB_1A > \angle CBB_1\).
Но \(\angle ABB_1 = \angle CBB_1\) (так как \(BB_1\) - биссектриса).
Следовательно, \(\angle BB_1A > \angle ABB_1\), и поэтому \(BA > B_1A\).

Аналогично докажем, что \(BC > B_1C\).

Рассмотрим треугольник \(CBB_1\). В нем \(BC\) - сторона, противолежащая углу \(\angle BB_1C\), а \(B_1C\) - сторона, противолежащая углу \(\angle CBB_1\).
Если \(\angle BB_1C > \angle CBB_1\), то \(BC > B_1C\).
\(\angle BB_1C\) - внешний угол треугольника \(ABB_1\), поэтому \(\angle BB_1C = \angle ABB_1 + \angle A\).
Так как \(\angle A > 0^\circ\), то \(\angle BB_1C > \angle ABB_1\).
Но \(\angle CBB_1 = \angle ABB_1\) (так как \(BB_1\) - биссектриса).
Следовательно, \(\angle BB_1C > \angle CBB_1\), и поэтому \(BC > B_1C\).

Ответ: Доказано, что \(BA > B_1A\) и \(BC > B_1C\).

Проверка за 10 секунд: Убедитесь, что каждая сторона больше своего отрезка, образованного биссектрисой.

Доп. профит: Редфлаг: В геометрии всегда обращай внимание на углы и их соотношения!