Оцените выражение: $$\frac{70^4 - 9^4}{79 \cdot 61}$$

Привет! Давай разберемся с этим выражением. Оно выглядит немного страшно из-за больших степеней, но у нас есть пара хитростей, чтобы сделать его проще.

Шаг 1: Работаем с числителем

В числителе у нас разность четвертых степеней: $$70^4 - 9^4$$. Вспомним формулу разности квадратов: $$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$$. Мы можем применить ее дважды, так как $$a^4 = (a^2)^2$$ и $$b^4 = (b^2)^2$$.

1. Сначала представим числитель как разность квадратов:



\[ 70^4 - 9^4 = (70^2)^2 - (9^2)^2 \]



2. Применим формулу разности квадратов:



\[ (70^2)^2 - (9^2)^2 = (70^2 - 9^2)(70^2 + 9^2) \]



3. Теперь у нас есть $$70^2 - 9^2$$. Это снова разность квадратов!



\[ 70^2 - 9^2 = (70 - 9)(70 + 9) \]



4. Рассчитаем значения:



\[ (70 - 9) = 61 \]




\[ (70 + 9) = 79 \]



5. Значит, $$70^2 - 9^2 = 61 \times 79$$.


6. Теперь вернемся к первой части: $$70^2 + 9^2$$.



\[ 70^2 = 4900 \]




\[ 9^2 = 81 \]




\[ 70^2 + 9^2 = 4900 + 81 = 4981 \]



7. Соберем все вместе:



\[ 70^4 - 9^4 = (61 \times 79) \times 4981 \]





Шаг 2: Работаем с знаменателем

Знаменатель у нас уже довольно простой: $$79 \times 61$$.





Шаг 3: Сокращаем дробь

Теперь подставим наши результаты обратно в исходное выражение:




\[ \frac{(61 \times 79) \times 4981}{79 \times 61} \]

Мы видим, что у нас есть множители $$61$$ и $$79$$ как в числителе, так и в знаменателе. Мы можем их смело сократить!




\[ \frac{\cancel{(61 \times 79)} \times 4981}{\cancel{79 \times 61}} = 4981 \]

Итого:

Мы упростили сложное выражение до простого числа.

Ответ: 4981