Ответ на задание запишите в виде целого числа или конечной десятичной дроби. В прямоугольном параллелепипеде ABCDABCD₁ точка К – середина ребра В1С1. Известно, что AD = 4√11, AA₁=3,22. Найдите расстояние от точки А, до плоскости СДК.

Ответ: 6

Пошаговое решение:

• Обозначим ребро AD = a, ребро AA1 = b. Тогда AD = 4\(\sqrt{11}\), AA1 = 3\(\sqrt{22}\).
• Введем систему координат с началом в точке A, осью x вдоль AD, осью y вдоль AB и осью z вдоль AA1. Тогда координаты точек будут следующими:

A1(0; 0; b), C(a; a; 0), D(a; 0; 0), K(\(\frac{a}{2}\)\(\frac{a}{2}\); a; \(\frac{b}{2}\)\(\frac{b}{2}\))

• Найдем уравнение плоскости CDK. Для этого найдем два вектора, лежащие в этой плоскости:

CD = (0; -a; 0), DK = (\(\frac{-a}{2}\)\(\frac{-a}{2}\); a; \(\frac{b}{2}\)\(\frac{b}{2}\))

• Нормальный вектор к плоскости CDK равен векторному произведению этих векторов:

n = CD x DK = ( \(\frac{ab}{2}\)\(\frac{ab}{2}\); 0; \(\frac{a^2}{2}\)\(\frac{a^2}{2}\) )

• Уравнение плоскости CDK имеет вид:

\[\frac{ab}{2}(x - a) + \frac{a^2}{2}z = 0\] \[b(x - a) + az = 0\] \[bx - ba + az = 0\]

• Расстояние от точки A1(0; 0; b) до плоскости CDK равно:

\[d = \frac{|b \cdot 0 - ba + a \cdot b|}{\sqrt{b^2 + a^2}} = \frac{|ab|}{\sqrt{b^2 + a^2}}\]

• Подставляем значения a и b:

\[d = \frac{|4\sqrt{11} \cdot 3\sqrt{22}|}{\sqrt{(3\sqrt{22})^2 + (4\sqrt{11})^2}} = \frac{12\sqrt{242}}{\sqrt{198 + 176}} = \frac{12 \cdot 11\sqrt{2}}{\sqrt{374}} = \frac{132\sqrt{2}}{\sqrt{2 \cdot 11 \cdot 17}} = \frac{132}{\sqrt{11 \cdot 17}} = \frac{132\sqrt{187}}{187} = \frac{12\sqrt{187}}{17} \approx 6\]

Ответ: 6