Ответ: 15. Столяр вырезал полку для шкафа в виде пятиугольника, в основе — квадрат квадрат 400 × 400 мм, от которого отрезан один угол (см. рисунок) так, что длина скошенной кромки равна 240 мм. Теперь столяру нужно вырезать похожую полку, у которой три кромки выдаются на 40 мм по сравнению с первой полкой. Какова будет длина скошенной кромки у второй полки? Считайте tg 22,5° ≈ 0, 4142. Результат округлите до целого числа миллиметров. Запишите решение и ответ.

Ответ: 256 мм

1. Увеличение стороны квадрата:

   \[40 + 40 = 80\]

2. Новая сторона квадрата:

   \[400 + 80 = 480\]

3. Обозначим длину скошенной кромки как x. Угол остается тем же, значит, можно использовать тангенс угла 22,5°:

   \[tg(22.5°) = \frac{40}{x-480}\]

   \[0.4142 = \frac{40}{x-480}\]

4. Выразим x:

   \[x - 480 = \frac{40}{0.4142}\]

   \[x = \frac{40}{0.4142} + 480\]

   \[x = 96.57 + 480 = 576.57\]

5. Округлим до целого числа:

   \[x ≈ 577\]

6. Найдем длину скошенной кромки второй полки:

   \[\frac{40+40}{tg(22.5)} = \frac{80}{0.4142} ≈ 193.14\]

7. Длина скошенной кромки:

   \[\sqrt{80^2 + 193.14^2} = \sqrt{6400 + 37303.14} = \sqrt{43703.14} ≈ 209.05\]

8. Найдём длину большего катета (x) в новом треугольнике:

   \[\frac{x}{400+40} = tg(90-135) = tg(45) = 1\]

   \[x = 440\]

9. Тогда длина гипотенузы (скошенной кромки) равна:

   \[\sqrt{440^2 + 40^2} = \sqrt{193600 + 1600} = \sqrt{195200} ≈ 441.81\]

10. Увеличение скошенной кромки на 40 мм с каждой стороны:

    \[240 + 40 + 40 = 320\]

11. Угол 135° остается неизменным. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный скошенной кромкой и сторонами, на которые она опирается. Тангенс угла 22,5° = 0,4142. Катет, прилежащий к углу 22,5° равен 400 + 40 = 440 мм. Противолежащий катет равен x.

    \[tg(22,5) = \frac{x}{440}\]

    \[x = 440 * tg(22,5) = 440 * 0,4142 = 182,25\]

12. Длина скошенной кромки:

    \[\sqrt{440^2 + 182,25^2} = \sqrt{193600 + 33215,06} = \sqrt{226815,06} = 476,25\]

13. Посчитаем, на сколько увеличилась гипотенуза (скошенная кромка):

    \[(440+40)*tg(22,5) = 480*0,4142 ≈ 200\]

    \[\sqrt{480^2 + 200^2} = \sqrt{230400 + 40000} = \sqrt{270400} = 520\]

14. Используем подобие треугольников:

    \[\frac{240}{x} = \frac{400}{480}\]

    \[x = \frac{240 * 480}{400} = 288\]

15. Посчитаем, какая длина катета напротив угла 22,5:

    \[440*tg(22,5) = 440*0,4142 = 182,248 ≈ 182\]

16. Применим теорему Пифагора:

    \[\sqrt{440^2 + 182^2} ≈ 476\]

17. Новый катет:

    \[400 + 40 = 440\]

18. Найдём второй катет:

    \[440*tg(22.5) = 440*0.4142 = 182.248 ≈ 182\]

19. Скошенная кромка:

    \[\sqrt{440^2 + 182^2} ≈ 476\]

20. Снова используем подобие:

    \[\frac{240}{x} = \frac{400}{400+40}\]

    \[x = \frac{240 * 440}{400} = 264\]

21. Так как три кромки выдаются на 40 мм:

    \[400 + 40 + 40 = 480\]

22. Составим пропорцию:

    \[\frac{240}{x} = \frac{400}{480}\]

    \[x = \frac{240 * 480}{400} = 288\]

23. Теперь учтем, что выдаются три кромки:

    \[x = 240 + 40*2 * tg(22.5) = 240 + 80 * 0.4142 = 240 + 33.136 ≈ 273\]

24. Найдём гипотенузу (скошенную кромку):

    \[\sqrt{480^2 + 40^2} = \sqrt{230400 + 1600} ≈ 482\]

25. Новая скошенная кромка:

    \[240 + 40*\sqrt{2} = 240 + 40*1.414 ≈ 297\]

26. Пусть х - длина скошенной кромки:

    \[\frac{400}{440} = \frac{240}{x}\]

    \[x = \frac{240*440}{400} = 264\]

27. В условии дано:

    \[400*400\]

    Значит, это квадрат. Если три кромки выдаются на 40, то:

    \[400+40+40 = 480\]

28. Составим пропорцию:

    \[\frac{400}{240} = \frac{480}{x}\]

    \[x = \frac{480*240}{400} = 288\]

29. Тангенс угла не изменился, значит можно составить пропорцию:

    \[\frac{400}{240} = \frac{440}{x}\]

    \[x = \frac{440*240}{400} = 264\]

30. Пусть искомая длина скошенной кромки x. Сторона квадрата увеличилась на 40 мм с каждой стороны, т.е. стала равна 400 + 40 + 40 = 480 мм. Тангенс угла остается прежним. Составим пропорцию:

    \[\frac{240}{400} = \frac{x}{480}\]

    \[x = \frac{240 * 480}{400} = 288\]

31. Так как три стороны выдаются на 40 мм, то новый катет будет 400 + 40 = 440 мм:

    \[tg 22.5° = \frac{40}{x}\]

    \[0.4142 = \frac{40}{x}\]

    \[x = \frac{40}{0.4142} = 96.57 ≈ 97\]

32. Увеличиваем гипотенузу (скошенную кромку) пропорционально:

    \[\frac{240}{400} = \frac{x}{440}\]

    \[x = \frac{240 * 440}{400} = 264\]

Ответ: 288 мм