Ответ: 13) В некотором двузначном числе поменяли местами цифры в записи числа и по- лученное двузначное число сложили с исходным. В результате получили число, которое делится на 5. Сколько таких двузначных чисел? Выпишите все такие числа. Ответ обоснуйте. Решение:

Ответ: 6 чисел: 14, 23, 32, 41, 69, 96

Разбираемся:

• Пусть двузначное число имеет вид 10a + b, где a и b — цифры от 0 до 9.
• После перестановки цифр получим число 10b + a.
• Сумма исходного и полученного чисел: (10a + b) + (10b + a) = 11a + 11b = 11(a + b).
• Результат должен делиться на 5. Так как 11 не делится на 5, то (a + b) должно делиться на 5.
• Значит, a + b = 5 или a + b = 10 или a + b = 15.

Выпишем все возможные варианты:

• Если a + b = 5, то пары: (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1). Числа: 14, 23, 32, 41.
• Если a + b = 10, то пары: (1, 9), (2, 8), (3, 7), (4, 6), (5, 5), (6, 4), (7, 3), (8, 2), (9, 1).
• Но нам нужно, чтобы полученное число делилось на 5, а это значит что последняя цифра (то есть b) должна быть либо 0, либо 5. Значит, из этого набора нам подходят только (5,5) (и (0,10) не подходит, так как 10 не цифра).
• Рассмотрим a + b = 15, тогда пары: (6, 9), (7, 8), (8, 7), (9, 6). Нам подходят только (6,9) и (9,6).

Таким образом, подходят числа: 14, 23, 32, 41, 69, 96.

Ответ: 6 чисел: 14, 23, 32, 41, 69, 96