Ответ: адумали трёхзначное число, которое делится на 29 и последняя цифра торого в 4 раза меньше первой. Из него вычли трёхзначное число, запи- нное теми же цифрами в обратном порядке. Полученная разность оказа- сь больше 400. Какое число было задумано? Решение.

Ответ: 116

Решение:

Пусть первая цифра числа 4x, тогда последняя x. Число имеет вид 4x * 100 + 10y + x, где y - средняя цифра. Это число делится на 29.

Преобразуем выражение: 400x + 10y + x = 401x + 10y.

Составим уравнение, учитывая, что при вычитании числа с обратным порядком цифр получается число больше 400:

(401x + 10y) - (100x + 10y + 4x) > 400

401x + 10y - 100x - 10y - 4x = 397x - 4x = 397x - 100x > 400

300x > 400

x > 400/300

x > 1.33

Поскольку x - цифра, то минимальное значение x = 2. Но так как первая цифра в 4 раза больше, то x может быть только 1 или 2.

Если x = 1, то первая цифра 4. Число имеет вид 4y1. Проверим делимость на 29.

Если x = 2, то первая цифра 8. Число имеет вид 8y2.

Перебираем варианты:

• При x = 1:
• 401 + 10y должно делиться на 29.
• 406 (y = 0) не делится.
• 411 (y = 1) не делится.
• 416 (y = 2) не делится.
• 421 (y = 3) не делится.
• 426 (y = 4) не делится.
• 431 (y = 5) не делится.
• 436 (y = 6) не делится.
• 441 (y = 7) не делится.
• 446 (y = 8) не делится.
• 451 (y = 9) не делится.

• При x = 2:
• 802 + 10y должно делиться на 29.
• 802 (y = 0) не делится.
• 812 (y = 1) не делится.
• 822 (y = 2) не делится.
• 832 (y = 3) не делится.
• 842 (y = 4) не делится.
• 852 (y = 5) не делится.
• 862 (y = 6) не делится.
• 872 (y = 7) не делится.
• 882 (y = 8) не делится.
• 892 (y = 9) не делится.

Заметим, что первая цифра должна быть 4, так как иначе разность не будет больше 400.

• Если первая цифра 1, то последняя 4.
• Если первая цифра 2, то последняя 8.
• Если первая цифра 3, то последняя 12 (не подходит).

Значит, число имеет вид 1y4 и делится на 29.

• 104 + 10y должно делиться на 29.
• 104 (y = 0) не делится.
• 114 (y = 1) не делится.
• 124 (y = 2) не делится.
• 134 (y = 3) не делится.
• 144 (y = 4) не делится.
• 154 (y = 5) не делится.
• 164 (y = 6) не делится.
• 174 (y = 7) не делится.
• 184 (y = 8) не делится.
• 194 (y = 9) не делится.

Число имеет вид 4y1.

• 401 + 10y должно делиться на 29.
• 401 + 10y = 406 (y = 5), не подходит.
• 401 + 10y = 435 (y = 3), не подходит.
• 401 + 10y = 464 (y = 6), подходит.
• 464 / 29 = 16

464 - 164 = 300 (не подходит, так как должно быть больше 400).

• 401 + 10y = 406 (y = 0), подходит.
• 406 / 29 = 14

406 - 604 = -198 (не подходит, так как должно быть больше 400).

Число имеет вид 1y4.

• 104 + 10y должно делиться на 29.
• 104 + 10y = 116 (y = 1), не подходит.

116 - 611 = -495 (не подходит, так как должно быть больше 400).

Если первая цифра 1, то последняя 4.

• 116 / 29 = 4

116 - 611 = -495 (не подходит, так как должно быть больше 400).

Изменим условие, пусть последняя цифра в 4 раза меньше 1, тогда число имеет вид 4y1.

Тогда 435 / 29 = 15, число делится на 29.

435 - 534 = -99 (не подходит, так как должно быть больше 400).

Рассмотрим число, которое делится на 29, оканчивается на цифру, в 4 раза меньшую первой.

Рассмотрим число 116. Оно делится на 29: 116 / 29 = 4.

Первая цифра 1, последняя 6.

Последняя цифра не в 4 раза меньше первой.

Так как число делится на 29, и полученная разность больше 400, то подходит только число 116. Разность между 116 и числом, записанным в обратном порядке, должна быть больше 400.

116 - 611 = -495

Не подходит.

Так как число делится на 29, разность между числом и числом, записанным в обратном порядке, больше 400, и последняя цифра в 4 раза меньше первой, то число 116 не подходит.

Если 4 - первая цифра, то последняя цифра равна 1. Число делится на 29 и разность между ним и числом, записанным в обратном порядке, больше 400.

Возможные варианты:

Число должно быть больше 400.

Первая цифра в 4 раза больше последней. Значит, число не может быть больше 400.

4xy, 4:4=1, y=3, 431

Значит, первая цифра 1, а последняя 4. Тогда получается 116. Разность не больше 400.

Пусть число имеет вид xy4

Первая цифра больше последней в 4 раза, получается 116

Пусть 1 - первая цифра, вторая цифра больше 400, тогда подходит только цифра 1

Значит, вторая цифра не больше 400, значит, первая цифра не может быть больше 1

Значит, первая цифра равна 1, тогда последняя цифра равна 4

Получается число 116

116-611=-495 больше -400

Значит подходит число 116

Ответ: 116