7. Ответьте на вопросы. Введите ответы в предложенные ниже поля. В каждое окно впишите только число без пробелов. Дан правильный многоугольник. R – радиус окружности, описанной около этого многоугольника. Определите площадь многоугольника, если: – у многоугольника 12 сторон и R = 8 см. S = – у многоугольника 8 сторон и R = 8 см (ответ округлите до целых). S =

Рассмотрим задачу нахождения площади правильного многоугольника, зная радиус описанной окружности. Случай 1: Многоугольник с 12 сторонами (додекагон) и радиусом R = 8 см. Площадь правильного n-угольника, описанного вокруг окружности радиуса R, может быть вычислена по формуле: $$S = \frac{1}{2} n R^2 \sin(\frac{2\pi}{n})$$ В нашем случае, n = 12 и R = 8. Подставляем значения в формулу: $$S = \frac{1}{2} * 12 * 8^2 * \sin(\frac{2\pi}{12})$$ $$S = 6 * 64 * \sin(\frac{\pi}{6})$$ Так как $$\sin(\frac{\pi}{6}) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$$, то $$S = 6 * 64 * \frac{1}{2} = 3 * 64 = 192$$ Таким образом, площадь многоугольника с 12 сторонами равна 192 см². Случай 2: Многоугольник с 8 сторонами (октагон) и радиусом R = 8 см. Используем ту же формулу: $$S = \frac{1}{2} n R^2 \sin(\frac{2\pi}{n})$$ В нашем случае, n = 8 и R = 8. Подставляем значения в формулу: $$S = \frac{1}{2} * 8 * 8^2 * \sin(\frac{2\pi}{8})$$ $$S = 4 * 64 * \sin(\frac{\pi}{4})$$ Так как $$\sin(\frac{\pi}{4}) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$, то $$S = 4 * 64 * \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 * 64 * \sqrt{2} = 128\sqrt{2}$$ Приближенно $$\sqrt{2} \approx 1.4142$$, поэтому $$S \approx 128 * 1.4142 \approx 181.0176$$ Округляем до целых, получаем 181 см². Ответы: Для 12-угольника: 192 см² Для 8-угольника: 181 см²