П.36 Найдите корень уравнения: a) \( \frac{3}{7}x + 5\frac{1}{2}x - 7\frac{2}{4} = 1 - \frac{1}{4}x + 5\frac{1}{4}x \) б) \( 5 - 2\frac{1}{3}z + 4\frac{4}{9}z = 7\frac{1}{2}z - 6\frac{5}{12}z + 6\frac{1}{3} \) в) \( 4 \cdot (\frac{2}{7}n + 1) + 2\frac{1}{2} = 6\frac{6}{7}n - 3\frac{1}{3} \) г) \( 2 - (1\frac{1}{3}p + \frac{1}{7}) \cdot 21 = 4\frac{3}{4}p - 6\frac{3}{8} \)

Решение:

а) \( \frac{3}{7}x + 5\frac{1}{2}x - 7\frac{2}{4} = 1 - \frac{1}{4}x + 5\frac{1}{4}x \)

1. Приведем дроби к общему знаменателю и смешанные числа к неправильным:
2. \( \frac{3}{7}x + \frac{11}{2}x - \frac{7}{2} = 1 - \frac{1}{4}x + \frac{21}{4}x \)
3. Перенесем слагаемые с \(x\) в левую часть, а числа — в правую:
4. \( \frac{3}{7}x + \frac{11}{2}x + \frac{1}{4}x - \frac{21}{4}x = 1 + \frac{7}{2} \)
5. Приведем к общему знаменателю (28):
6. \( \frac{12}{28}x + \frac{154}{28}x + \frac{7}{28}x - \frac{147}{28}x = \frac{2}{2} + \frac{7}{2} \)
7. \( \frac{32}{28}x = \frac{9}{2} \)
8. \( \frac{8}{7}x = \frac{9}{2} \)
9. Выразим \(x\):
10. \( x = \frac{9}{2} \cdot \frac{7}{8} = \frac{63}{16} \)

Ответ: \( x = \frac{63}{16} \)

б) \( 5 - 2\frac{1}{3}z + 4\frac{4}{9}z = 7\frac{1}{2}z - 6\frac{5}{12}z + 6\frac{1}{3} \)

1. Приведем смешанные числа к неправильным дробям:
2. \( 5 - \frac{7}{3}z + \frac{40}{9}z = \frac{15}{2}z - \frac{77}{12}z + \frac{19}{3} \)
3. Перенесем слагаемые с \(z\) в левую часть, а числа — в правую:
4. \( -\frac{7}{3}z + \frac{40}{9}z - \frac{15}{2}z + \frac{77}{12}z = \frac{19}{3} - 5 \)
5. Приведем к общему знаменателю (36):
6. \( -\frac{84}{36}z + \frac{160}{36}z - \frac{270}{36}z + \frac{231}{36}z = \frac{19}{3} - \frac{15}{3} \)
7. \( \frac{37}{36}z = \frac{4}{3} \)
8. Выразим \(z\):
9. \( z = \frac{4}{3} \cdot \frac{36}{37} = \frac{4 \cdot 12}{37} = \frac{48}{37} \)

Ответ: \( z = \frac{48}{37} \)

в) \( 4 \cdot (\frac{2}{7}n + 1) + 2\frac{1}{2} = 6\frac{6}{7}n - 3\frac{1}{3} \)

1. Раскроем скобки и приведем смешанные числа к неправильным дробям:
2. \( \frac{8}{7}n + 4 + \frac{5}{2} = \frac{48}{7}n - \frac{10}{3} \)
3. Перенесем слагаемые с \(n\) в правую часть, а числа — в левую:
4. \( 4 + \frac{5}{2} + \frac{10}{3} = \frac{48}{7}n - \frac{8}{7}n \)
5. Приведем к общему знаменателю (6) в левой части и (7) в правой:
6. \( \frac{24}{6} + \frac{15}{6} + \frac{20}{6} = \frac{40}{7}n \)
7. \( \frac{59}{6} = \frac{40}{7}n \)
8. Выразим \(n\):
9. \( n = \frac{59}{6} \cdot \frac{7}{40} = \frac{413}{240} \)

Ответ: \( n = \frac{413}{240} \)

г) \( 2 - (1\frac{1}{3}p + \frac{1}{7}) \cdot 21 = 4\frac{3}{4}p - 6\frac{3}{8} \)

1. Приведем смешанные числа к неправильным дробям:
2. \( 2 - (\frac{4}{3}p + \frac{1}{7}) \cdot 21 = \frac{19}{4}p - \frac{51}{8} \)
3. Раскроем скобки, умножив на 21:
4. \( 2 - (\frac{4}{3}p \cdot 21 + \frac{1}{7} \cdot 21) = \frac{19}{4}p - \frac{51}{8} \)
5. \( 2 - (28p + 3) = \frac{19}{4}p - \frac{51}{8} \)
6. \( 2 - 28p - 3 = \frac{19}{4}p - \frac{51}{8} \)
7. \( -1 - 28p = \frac{19}{4}p - \frac{51}{8} \)
8. Перенесем слагаемые с \(p\) в правую часть, а числа — в левую:
9. \( -1 + \frac{51}{8} = \frac{19}{4}p + 28p \)
10. Приведем к общему знаменателю (8) в левой части и (4) в правой:
11. \( -\frac{8}{8} + \frac{51}{8} = \frac{19}{4}p + \frac{112}{4}p \)
12. \( \frac{43}{8} = \frac{131}{4}p \)
13. Выразим \(p\):
14. \( p = \frac{43}{8} \cdot \frac{4}{131} = \frac{43 \cdot 1}{2 \cdot 131} = \frac{43}{262} \)

Ответ: \( p = \frac{43}{262} \)