П-55. Квадрат суммы и разности. Вариант 1. Запишите выражение в виде многочлена стандартного вида: а) (3a + b)²; б) (7v - u)²; в) 12fg + (2f - 3g)²; г) 25x² - (5x - 1)²; д) -2 ⋅ (5a - 3)².

Решение:

Чтобы записать выражения в виде многочлена стандартного вида, воспользуемся формулами квадрата суммы \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) и квадрата разности \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \).

а) \( (3a + b)^2 \)

1. Применим формулу квадрата суммы: \( (3a)^2 + 2 \cdot (3a) \cdot b + b^2 \)
2. Возведём в квадрат: \( 9a^2 + 6ab + b^2 \)

б) \( (7v - u)^2 \)

1. Применим формулу квадрата разности: \( (7v)^2 - 2 \cdot (7v) \cdot u + u^2 \)
2. Возведём в квадрат: \( 49v^2 - 14vu + u^2 \)

в) \( 12fg + (2f - 3g)^2 \)

1. Сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата разности: \( 12fg + ((2f)^2 - 2 \cdot (2f) \cdot (3g) + (3g)^2) \)
2. Возведём в квадрат: \( 12fg + (4f^2 - 12fg + 9g^2) \)
3. Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: \( 12fg + 4f^2 - 12fg + 9g^2 = 4f^2 + 9g^2 \)

г) \( 25x^2 - (5x - 1)^2 \)

1. Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности: \( 25x^2 - ((5x)^2 - 2 \cdot (5x) \cdot 1 + 1^2) \)
2. Возведём в квадрат: \( 25x^2 - (25x^2 - 10x + 1) \)
3. Раскроем скобки, меняя знаки: \( 25x^2 - 25x^2 + 10x - 1 \)
4. Приведём подобные слагаемые: \( 10x - 1 \)

д) \( -2 \cdot (5a - 3)^2 \)

1. Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности: \( -2 \cdot ((5a)^2 - 2 \cdot (5a) \cdot 3 + 3^2) \)
2. Возведём в квадрат: \( -2 \cdot (25a^2 - 30a + 9) \)
3. Умножим каждый член в скобках на \( -2 \): \( -50a^2 + 60a - 18 \)

Ответ: а) \( 9a^2 + 6ab + b^2 \); б) \( 49v^2 - 14vu + u^2 \); в) \( 4f^2 + 9g^2 \); г) \( 10x - 1 \); д) \( -50a^2 + 60a - 18 \).