P \(\int\)_{-2}^{5} (x^2 - 3x + 5) dx

Решение:

Перед нами определенный интеграл. Чтобы его решить, нужно сначала найти первообразную для функции $$f(x) = x^2 - 3x + 5$$, а затем подставить верхний и нижний пределы интегрирования, вычитая одно из другого.

1. Находим первообразную:
   
   • Первообразная для $$x^2$$ это $$ \frac{x^3}{3} $$.
   • Первообразная для $$-3x$$ это $$ -3 \frac{x^2}{2} $$.
   • Первообразная для $$5$$ это $$ 5x $$.

   Итого, первообразная $$F(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 5x$$.

2. Подставляем пределы интегрирования:
   
   • Верхний предел (5): $$F(5) = \frac{5^3}{3} - \frac{3 \times 5^2}{2} + 5 \times 5 = \frac{125}{3} - \frac{75}{2} + 25$$.
   • Нижний предел (-2): $$F(-2) = \frac{(-2)^3}{3} - \frac{3 \times (-2)^2}{2} + 5 \times (-2) = \frac{-8}{3} - \frac{12}{2} - 10 = -\frac{8}{3} - 6 - 10 = -\frac{8}{3} - 16$$.
3. Вычитаем:
   $$F(5) - F(-2) = \big( \frac{125}{3} - \frac{75}{2} + 25 \big) - \big( -\frac{8}{3} - 16 \big)$$.
   Приводим к общему знаменателю 6:
   $$= \frac{250}{6} - \frac{225}{6} + \frac{150}{6} + \frac{16}{6} + \frac{96}{6} = \frac{250 - 225 + 150 + 16 + 96}{6} = \frac{390 + 16 + 96}{6} = \frac{412+96}{6} = \frac{508}{6}$$.
4. Сокращаем дробь:
   $$ \frac{508}{6} = \frac{254}{3} $$.

Ответ: $$\frac{254}{3}$$