П. Проведение зачета. Вариант І Обязательная часть 1. Решите систему уравнений (x-y=4, (x²-2y = 11. 2. Вычислите координаты точек пересечения графиков урав- нений: х2 + y² = 5 и х - у = 1. 3. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 15 см, а один из катетов на 3 см меньше другого. Найдите катеты тре- угольника. 4. С помощью графиков, показанных на рисунке 3.22, a учебника, выясните, сколько корней имеет уравнение х³ = 1. Запишите его корни. Дополнительная часть 5. Решите систему уравнений (х-у = -2, { 111. X y 12 6. Решите графически систему уравнений у = |x|, =2x²-6. X 7. Дорога между пунктами А и В состоит из двух участков: 24 км подъема и 16 км спуска. Велосипедист преодолевает этот путь от А до В за 4 ч 20 мин, а обратный путь за 4 ч. Определите скорость велосипедиста на подъеме и спуске. Вариант ІІ Обязательная часть 1. Решите систему уравнений ху=-10, { x-y=7.

Вариант I

Обязательная часть

1. Решите систему уравнений: \[\begin{cases} x - y = 4, \\ x^2 - 2y = 11. \end{cases}\]

   Показать решение системы уравнений

   Выразим x из первого уравнения: x = y + 4.

   Подставим это выражение во второе уравнение: \[(y + 4)^2 - 2y = 11\] \[y^2 + 8y + 16 - 2y = 11\] \[y^2 + 6y + 5 = 0\]

   Решим квадратное уравнение относительно y. Дискриминант: \[D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16\] \[y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + 4}{2} = -1\] \[y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - 4}{2} = -5\]

   Теперь найдем x для каждого значения y: Если y = -1, то x = -1 + 4 = 3. Если y = -5, то x = -5 + 4 = -1.

   Ответ: (3, -1) и (-1, -5)

2. Вычислите координаты точек пересечения графиков уравнений: \[x^2 + y^2 = 5\] и \[x - y = 1\]

   Показать решение задачи

   Выразим x из второго уравнения: x = y + 1.

   Подставим это выражение в первое уравнение: \[(y + 1)^2 + y^2 = 5\] \[y^2 + 2y + 1 + y^2 = 5\] \[2y^2 + 2y - 4 = 0\] \[y^2 + y - 2 = 0\]

   Решим квадратное уравнение относительно y. Дискриминант: \[D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9\] \[y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 3}{2} = 1\] \[y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 3}{2} = -2\]

   Теперь найдем x для каждого значения y: Если y = 1, то x = 1 + 1 = 2. Если y = -2, то x = -2 + 1 = -1.

   Ответ: (2, 1) и (-1, -2)

3. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 15 см, а один из катетов на 3 см меньше другого. Найдите катеты треугольника.

   Показать решение задачи

   Пусть x - длина меньшего катета, тогда x + 3 - длина большего катета. По теореме Пифагора: \[x^2 + (x + 3)^2 = 15^2\] \[x^2 + x^2 + 6x + 9 = 225\] \[2x^2 + 6x - 216 = 0\] \[x^2 + 3x - 108 = 0\]

   Решим квадратное уравнение относительно x. Дискриминант: \[D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-108) = 9 + 432 = 441\] \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 21}{2} = 9\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 21}{2} = -12\]

   Так как длина не может быть отрицательной, берем x = 9. Тогда больший катет равен 9 + 3 = 12.

   Ответ: 9 см и 12 см

4. С помощью графиков, показанных на рисунке 3.22, a учебника, выясните, сколько корней имеет уравнение \[x^3 = \frac{1}{x}\] Запишите его корни.

   Показать решение задачи

   Графически уравнение \[x^3 = \frac{1}{x}\] эквивалентно нахождению точек пересечения графиков функций y = x³ и y = 1/x.

   Перепишем уравнение как: x⁴ = 1. Корни этого уравнения: x = 1 и x = -1.

   Ответ: 2 корня: 1 и -1

Дополнительная часть

1. Решите систему уравнений: \[\begin{cases} x - y = -2, \\ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{12}. \end{cases}\]

   Показать решение системы уравнений

   Выразим x из первого уравнения: x = y - 2.

   Подставим это выражение во второе уравнение: \[\frac{1}{y - 2} - \frac{1}{y} = \frac{1}{12}\] Приведем к общему знаменателю: \[\frac{y - (y - 2)}{y(y - 2)} = \frac{1}{12}\] \[\frac{2}{y^2 - 2y} = \frac{1}{12}\] \[y^2 - 2y = 24\] \[y^2 - 2y - 24 = 0\]

   Решим квадратное уравнение относительно y. Дискриминант: \[D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100\] \[y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 10}{2} = 6\] \[y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 10}{2} = -4\]

   Теперь найдем x для каждого значения y: Если y = 6, то x = 6 - 2 = 4. Если y = -4, то x = -4 - 2 = -6.

   Ответ: (4, 6) и (-6, -4)

2. Решите графически систему уравнений: \[\begin{cases} y = |x|, \\ y = 2x^2 - 6. \end{cases}\]

   Показать график и решение

   Построим графики функций y = |x| и y = 2x² - 6 и найдем точки их пересечения.

   Точки пересечения графиков (приблизительно): (-1.8, 1.8) и (1.8, 1.8).

   Ответ: (-1.8, 1.8) и (1.8, 1.8)

3. Дорога между пунктами А и В состоит из двух участков: 24 км подъема и 16 км спуска. Велосипедист преодолевает этот путь от А до В за 4 ч 20 мин, а обратный путь за 4 ч. Определите скорость велосипедиста на подъеме и спуске.

   Показать решение задачи

   Пусть v₁ - скорость на подъеме, v₂ - скорость на спуске.

   Время в пути из A в B: \[\frac{24}{v_1} + \frac{16}{v_2} = 4 + \frac{20}{60} = \frac{13}{3}\]

   Время в пути из B в A: \[\frac{16}{v_1} + \frac{24}{v_2} = 4\]

   Решим систему уравнений: \[\begin{cases} \frac{24}{v_1} + \frac{16}{v_2} = \frac{13}{3}, \\ \frac{16}{v_1} + \frac{24}{v_2} = 4. \end{cases}\]

   Умножим первое уравнение на 3 и второе на 2: \[\begin{cases} \frac{72}{v_1} + \frac{48}{v_2} = 13, \\ \frac{32}{v_1} + \frac{48}{v_2} = 8. \end{cases}\]

   Вычтем из первого уравнения второе: \[\frac{40}{v_1} = 5\] \[v_1 = 8\]

   Подставим v₁ во второе уравнение: \[\frac{16}{8} + \frac{24}{v_2} = 4\] \[2 + \frac{24}{v_2} = 4\] \[\frac{24}{v_2} = 2\] \[v_2 = 12\]

   Ответ: 8 км/ч (на подъеме) и 12 км/ч (на спуске)