P_ABC = 46, AB = BC, AM = BM, BN = CN, AC = MN + 8. Найти: P_AMNC.

Так как M и N — середины AB и BC, отрезок MN является средней линией треугольника, поэтому \(MN = \frac{AC}{2}\).

По условию \(AC = MN + 8\), значит \(AC = \frac{AC}{2} + 8\), откуда \(AC = 16\), а \(MN = 8\).

Из \(P_{ABC} = 46\) и \(AB = BC\): \(2AB + 16 = 46\), поэтому \(AB = BC = 15\).

Периметр четырёхугольника AMNC:

\(P_{AMNC} = AM + MN + NC + CA = \frac{15}{2} + 8 + \frac{15}{2} + 16 = 39\).

Ответ: \(P_{AMNC} = 39\).